№38575

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) или на их продолжениях отмечены точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) так, что на сторонах треугольника либо лежат две точки, либо не лежит ни одной из этих точек и \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{1}}{BC_{1}} = 1\). Докажите, что точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) лежат на одной прямой.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38559:

Предположите, что прямая \(А_{1}В_{1}\) параллельна прямой \(АВ\). Тогда \(АС_{1} = ВС_{1}\), поэтому точка \(C_{1}\) - середина отрезка \(АВ\). Но тогда на сторонах треугольника лежат либо три точки, либо одна, что противоречит условию. Поэтому прямая \(А_{1}В_{1}\) пересекает прямую \(АВ\) в некоторой точке \(С_{2}\). Из задачи 22.28 следует, что \(АС_{1} : BC_{1} = AC_{2} : BC_{2}\). Кроме того, точки \(C_{1}\) и \(С_{2}\), либо обе лежат на стороне \(АВ\), либо обе лежат на её продолжении. Воспользовавшись задачами 22.33 и 22.43, получите, что точки \(С_{1}\) и \(С_{2}\) совпадают.