№38611

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Стороны \(АЕ\) и \(ВС\) выпуклого пятиугольника \(ABCDE\), вписанного в окружность, параллельны. Прямые \(ВС\) и \(DE\) пересекаются в точке \(К\). Докажите, что \(DK \cdot DA = DC \cdot DB\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38595:

Рассмотрите точку \(L\), в которой пересенаются прямые \(АЕ\) и \(CD\). Пусть градусные меры дуг \(ВС\), \(CD\), \(DE\) и \(EA\) равны \(2\alpha_{1}\), (2\alpha_{2}\), (2\beta_{2}\) и (2\beta_{1}\) (Рис. 259). Тогда \(\angle DAB = \alpha_{1} + \alpha_{2}\). Градусная мера дуги \(АВ\) равна 2(\alpha_{2} + \beta_{2})\), поэтому \(\angle DCK = \angle DLE = 2(\alpha_{w} + \beta_{2}) + 2\alpha_{2} - 2\beta_{2} = \angle DAB\). Аналогично \(\angle DEL = \angle DBA\). Следовательно, \(\Delta DAB \backsim \Delta DCK\).