№38577

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе \(AD\) треугольника \(АВС\) пересекает прямую \(ВС\) в точке \(Е\). Докажите, что \(BE : CE = AB^2 : AC^2\). б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольника с продолжениями соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38561:

а) Пусть для определённости \(\angle B < \angle C\). Тогда \(\angle DAE = \angle ADE = \angle B + \frac{\angle A}{2}\), поэтому \(\angle CAE = \angle B\). Далее, \(BE : AB = \sin{BAE} : \sin{AEB}\) и \(AC : CE = \sin{AEC} : \sin{CAE}\). Углы \(АЕВ\) и \(AЕС\) равны, поэтому \(ВЕ : CE = (AB \sin{BAE}) : (AC \sin{CAE}) = (AB \sin {(A + B)}) : (AC\sin{B}) = (AB\sin{C}) : (AC \sin {B}) = AB^2 : AC^2\). б) В задаче а) точка \(Е\) лежит на продолжении стороны \(ВС\), поскольку \(\angle ADC = \angle BAD + \angle B > \angle CAD\). Поэтому все три рассматриваемые точки лежат на продолжениях сторон, и можно воспользоваться результатом задачи 22.44.