Решение №38213: B равнобедренном треугольнике \(ABC\) с боковыми сторонами \(АВ = ВС = 1\) и углом при вершине \(30^\circ\) проведите высоту \(АН\) (рис. 191). Средняя линия треугольника \(АСН\), параллельная \(AH\), вдвое меньше этой высоты.

Ответ: NaN

Решение №38214: Треугольник \(АС_{1}К равнобедренный, так как \(\angle C_{1}AK = \angle KAC = \angle C_{1}KA\). Поэтому \(C_{1}K = AC_{1} = \frac{1}{2}AB\) и \(A_{1}К = |A_{1}C_{1}, - C_{1}K| = \frac{1}{2}(AC - АВ)\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38215: Через каждую из трех данных точек проводим прямую, параллельную прямой, проходящей через две другие точки.

Ответ: NaN

Решение №38216: Пусть \(О\) - точка пересечения отрезков \(CK\) и \(AL\), \(\angle A = 2a\). Точка \(O\) лежит на средней линии, параллельной \(ВС\), т. е. на серединном перпендикуляре к отрезку \(АС\). Поэтому \(\angle OCA = \angle OAC = a\) и \( \angle B = \angle BKC = 3a\).

Ответ: NaN

Решение №38217: Пусть \(M\) и \(N\) - середины сторон \(АС\) и \(ВС\). Тогда \(СМ = \frac{1}{2}AC = CA_{1}\) и \(CN = СB_{1}\), поэтому треугольник \(CA_{1}B_{1}\) равен треугольнику \(CMN\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38218: Перпендикуляр, проведённый из точки \(М\) к прямой \(ВС\), является средней линией треугольника \(АНС\).

Ответ: NaN

Решение №38219: Из равенства \(AK = LB\) следует, что середина \(N\) отрезка \(АВ\) является также серединой отрезка \(KL\). Медиана \(MN\) треугольника \(KML\) равна половине стороны \(KL\), поэтому угол \(KML\) прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38220: Пусть \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) четырёхугольника \(АВСD\). Отрезки \(KL\) и \(MN\) средние линии треугольников \(АВС\) и \(ADC\), поэтому они равны половине отрезка \(АС\) и параллельны ему. Отрезки \(LM\) и \(КМ\) тоже равны и параллельны, поэтому четырёхугольник \(KLMN\) параллелограмм. Этот параллелограмм прямоугольник, если диагонали \(АС\) и \(BD\) перпендикулярны; ромб, если диагонали равны; квадрат, если диагонали равны и перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38221: Четырёхугольник \(MPNQ\) - параллелограмм, стороны которого вдвое меньше сторон \(AD\) и \(ВС\). Диагонали \(MN\) и \(PQ\) этого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда его стороны равны.

Ответ: NaN

Решение №38222: Пусть прямые \(DE\) и \(ВС\) пересекаются в точке \(F\), точка \(К\) - середина отрезка \(ЕС\) (рис. 192). Биссектриса \(CD\) треугольника \(ECF\) является его высотой, поэтому точка \(D\) - середина стороны \(EF\). С одной стороны, средняя линия \(DK\) этого треугольника параллельна прямой \(ВС\), поэтому \(AD = DK\). С другой стороны, медиана \(DK\) прямоугольного треугольника \(EDC\) равна половине гипотенузы \(ЕС\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38223: Пусть \(L\) - середина отрезка \(МА\). Тогда \(NL\) - средняя линия треугольника \(BMA\) и \(\angle BMC = \angle NLM = \angle NML\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38224: Нужно разрезать треугольник по средней линии.

Ответ: NaN

Решение №38225: Пусть \(M\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(AC\). Тогда \(\angle AMB1 = \angle MBB1 + \anlge MB1B = 2 \angle MBB1 = 180^\circ - \angle B\). Поэтому точки \(B1\), \(M\), \(N\) и \(С_{1}\) лежат на одной прямой, \(B_{1}M = \frac{1}{2}AB, MN = \frac{1}{2}BC и C_{1}N = \frac{1}{2}AC\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38226: Пусть \(B_{1}\) и \(В_{2}\) - основания перпендикуляров, проведённых из точки \(А\) к биссектрисам внутреннего и внешнего углов с вершиной \(В\). Сначала докажите, что прямая \(В_{1}В_{2}#\) проходит через середину стороны \(АВ\) и параллельна прямой \(ВС\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38227: Прямая, проходящая через точку \(А\) и середину отрезка \(ВС\), параллельна прямой \(СЕ\) (рис. 193). Эта прямая содержит среднюю линию треугольника \(BFC\), поэтому она делит отрезок \(BF\) пополам.

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38228: Пусть \(Р\) и \(Q\) - середины сторон \(АВ\) и \(CD\). Тогда отрезки \(РО\) и \(ОQ\) - средние линии треугольников \(ABD\) и \(ACD\). Поэтому \(\angle MPO = \angle MAD = \angle PMO\) и \(MO = PO = QO\) (рис. 194). Следовательно, \(\angle PMQ = 90^\circ\) и \(MQ \perp CD\), т. e. \(MQ\) - серединный перпендикуляр к отрезку \(CD\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38229: Проведите через точку \(B\) прямую, параллельную \(AC\). Пусть проведённые перпендикуляры пересекают эту прямую в точках \(М\) и \(N\) (рис. 195). Прямоугольные треугольники \(CBN\) и \(DNM\) равны треугольнику \(АСЕ\) по катету и прилежащему острому углу. Поэтому \(BN = NM\) и \(NL\) - средняя линия треугольника \(КМВ\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38230: Пусть длина каждой из медиан \(АА1\) и \(СС1\) треугольника \(АВС\) равна \(3m\) и эти медианы пересекаются в точке \(М\). Тогда \(АМ = 2m = CM\) и \(А_{1}М = m = С_{1}М\). Поэтому треугольники \(АМС_{1}\) и \(СМА_{1}\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38231: Пусть \(М\) и \(М_{1}\) - точки пересечения медиан треугольников \(АВС\) и \(A_{1}B_{1}C_{1}\) с соответственно равными медианами. Тогда треугольники \(АВМ\) и \(А_{1}В_{1}М_{1}\) равны по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38232: Пусть \(М\) точка пересечения медиан \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) треугольника \(ABC\), \(D\) - вершина параллелограмма \(АМСD\). Сначала постройте треугольник \(CMD\) по трём сторонам: \(CD = \frac{2}{3}AA_{1}\), \(MD = \frac{2}{3}BB_{1}\) и \(MC = \frac{2}{3}CC_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №38233: Медиана \(АА_{1}\) является диагональю параллелограмма \(AB_{1}A_{1}C_{1}\), поэтому она делит отрезок \(B_{1}C_{1}\) пополам.

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38234: Пусть \(М\) и \(N\) - середины боковых сторон \(АВ\) и \(CD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\), \(СН\) - высота трапеции. Тогда \(\angle NHD = \angle NDH = \angle MAH\), поэтому четырёхугольник \(AMNH\) - параллелограмм и \(MN = АН\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38235: Если средняя линия трапеции делится диагоналями на три части, равные \(х\), то меньшее основание равно \(2х\), а большее основание равно \(4х\) (рис. 196).

Ответ: NaN

Решение №38236: Точки \(А_{1}\) и \(С_{1}\) лежат на окружности диаметром \(AC\). Перпендикуляр \(ОН\) к прямой \(А_{1}С_{1}\), проведенный из центра этой окружности, является средней линией трапеции \(AА_{2}С_{2}C\), поэтому \(A_{2}H = HC_{2}\). Ясно также, что \(C_{1}H = HA_{1}\), поэтому \(А_{1}С_{2} = С_{1}А_{2}\).

Ответ: NaN

Решение №38237: Пусть боковая сторона \(АВ\) равна сумме оснований \(AD\) и \(ВС\), \(К\) и \(L\) - середины сторон \(АВ\) и \(СD\). Отрезки \(АК\) и \(ВК\) равны средней линии \(KL\), поэтому треугольники \(AKL\) и \(BKL\) равнобедренные (рис. 197). Следовательно, \(AL\) и \(BL\) - биссектрисы углов \(А\) и \(В\).

Ответ: NaN

Решение №38238: Пусть точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(СD\). Прямые \(РМ\) и \(QN\) параллельны прямой \(AD\), поэтому точки \(М\) и \(N\) лежат на отрезке \(PQ\), \(PM = \frac{1}{2} AB\) и \(QN = \frac{1}{2} CD\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38239: Пусть точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(СD\). Прямые \(PM\) и \(QN\) параллельны прямой \(AD\), поэтому точки \(Р\) и \(Q\) лежат на отрезке \(MN\), \(PM = \frac{1}{2}AB\) и \(QN = \frac{1}{2} CD\).

Ответ: Утверждение доказано

Решение №38240: Пусть диагонали \(АС\) и \(ВD\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(ВС\) пересекаются в точке \(О\). Отложите на продолжении отрезка \(AD\) за точку \(D\) отрезок \(DE\), равный отрезку \(ВС\) (рис. 198). Четырёхугольник \(BCED\) - параллелограмм, поэтому \(OD \parallel CE\). Следовательно, \(AO : OC = AD : DE = AD : BC\).

Ответ: \(р : q\)

Решение №38241: Отметьте на луче \(BC\) точку \(D\) так, что \(BD = B_{1}C_{1}\) (рис. 199). Из равенства отношений \(AB_{1}: B_{1}B\) и \(АС_{1} : С_{1}С\) следует параллельность прямых \(В_{1}С_{1}\) и \(ВС\), поэтому четырёхугольник \(BB_{1}C_{1}D\) - параллелограмм. Следовательно, \(B_{1}C_{1}: BC = BD : BC = BD : (BD + DC) = AC_{1} : (AC_{1} + C_{1}C) = p : (p + q)\).

Ответ: \(p : (p + q)\).

Решение №38242: Проведём через точки \(Е\) и \(F\) прямые, параллельные прямой \(АВ\) (рис. 200). Эти прямые делят стороны \(АС\) и \(ВС\) на три равные части, и прямая, проходящая через точку \(F\), проходит также через середину \(М\) гипотенузы прямоугольного треугольника \(DEF\). Поэтому \(\angle ADF = \angle DFM = \angle MDF\).

Ответ: Утверждение доказано.