№38238

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В равнобедренном треугольнике \(АВС\) с основанием \(АС\) проведена биссектриса \(CD\). Прямая, проходящая через точку \(D\) перпендикулярно прямой \(DC\), пересекает прямую \(АС\) в точне \(Е\). Докажите, что \(EC = 2AD\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38222:

Пусть прямые \(DE\) и \(ВС\) пересекаются в точке \(F\), точка \(К\) - середина отрезка \(ЕС\) (рис. 192). Биссектриса \(CD\) треугольника \(ECF\) является его высотой, поэтому точка \(D\) - середина стороны \(EF\). С одной стороны, средняя линия \(DK\) этого треугольника параллельна прямой \(ВС\), поэтому \(AD = DK\). С другой стороны, медиана \(DK\) прямоугольного треугольника \(EDC\) равна половине гипотенузы \(ЕС\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№13.10.png'>