№38244

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\). На продолжении стороны \(АВ\) за точку \(В\) отмечена точка \(М\) так, Что \(\angle AMO = \angle MAD\). Докажите, что точка \(М\) равноудалена от точек \(С\) и \(D\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38228:

Пусть \(Р\) и \(Q\) - середины сторон \(АВ\) и \(CD\). Тогда отрезки \(РО\) и \(ОQ\) - средние линии треугольников \(ABD\) и \(ACD\). Поэтому \(\angle MPO = \angle MAD = \angle PMO\) и \(MO = PO = QO\) (рис. 194). Следовательно, \(\angle PMQ = 90^\circ\) и \(MQ \perp CD\), т. e. \(MQ\) - серединный перпендикуляр к отрезку \(CD\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№13.16.png'>