№38254

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Дана трапеция \(ABCD\) с основанием \(AD\). Биссектрисы углов, смежных с углами \(А\) и \(В\) трапеции, пересекаются в точке \(Р\), а биссектрисы углов, смежных с углами \(С\) и \(D\), - в точке \(Q\). Докажите, что длина отрезка \(PQ\) равна половине периметра трапеции.

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38238:

Пусть точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(СD\). Прямые \(РМ\) и \(QN\) параллельны прямой \(AD\), поэтому точки \(М\) и \(N\) лежат на отрезке \(PQ\), \(PM = \frac{1}{2} AB\) и \(QN = \frac{1}{2} CD\).