№38252

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В остроугольном треугольнике \(АВС\) проведены высоты \(AA_{1}\), и \(СС_{1}\). Из точек \(А\) и \(С\) проведены перпендикуляры \(АA_{2}\) и \(СC_{2}\) к прямой \(А_{1}С_{1}\). Докажите, что \(А_{1}C_{2} = С_{1}А_{2}\).

Ответ

NaN

Решение № 38236:

Точки \(А_{1}\) и \(С_{1}\) лежат на окружности диаметром \(AC\). Перпендикуляр \(ОН\) к прямой \(А_{1}С_{1}\), проведенный из центра этой окружности, является средней линией трапеции \(AА_{2}С_{2}C\), поэтому \(A_{2}H = HC_{2}\). Ясно также, что \(C_{1}H = HA_{1}\), поэтому \(А_{1}С_{2} = С_{1}А_{2}\).