№38236

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма. Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких - ромбом, для каких - квадратом?

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38220:

Пусть \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) четырёхугольника \(АВСD\). Отрезки \(KL\) и \(MN\) средние линии треугольников \(АВС\) и \(ADC\), поэтому они равны половине отрезка \(АС\) и параллельны ему. Отрезки \(LM\) и \(КМ\) тоже равны и параллельны, поэтому четырёхугольник \(KLMN\) параллелограмм. Этот параллелограмм прямоугольник, если диагонали \(АС\) и \(BD\) перпендикулярны; ромб, если диагонали равны; квадрат, если диагонали равны и перпендикулярны.