№38573

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) или на их продолжениях отмечены точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) так, что одна точка лежит на стороне, а две другие точки лежат на продолжениях сторон и \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{1}}{BC_{1}} = 1\). Докажите, что прямые \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в одной точке или параллельны.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38557:

Для определенности считайте, что точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на продолжениях сторон. Если прямые \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\) параллельны, то проведите через точку \(С\) параллельную им прямую. Если же эти прямые пересекаются в некоторой точке \(O\), то проведите прямую \(СО\). В обоих случаях проведённая прямая пересекает отрезок \(AB\) (а не его продолжение) в некоторой точке \(С_{2}\). Согласно задаче 22.30 выполняется равенство \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{2}}{BC_{2}} = 1\). Следовательно, \(AC_{1} : BC_{1} = АС_{2} : ВС_{2}\). Точки \(С_{1}\) и \(С_{2}\) лежат на отрезке \(АВ\), поэтому согласно задаче 22.33 эти точки совпадают, т. е. отрезок \(СС_{1}\) тоже проходит через точку \(О\).