Решение №14045: Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 2^{2y} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{y} = 7 \end{matrix} \right. \] выполним следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 2^{2y} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{y} = 7 \end{matrix} \right. \]
2. Решим второе уравнение \(3^{\frac{x}{2}} - 2^{y} = 7\): \[ 3^{\frac{x}{2}} = 2^{y} + 7 \]
3. Подставим \(3^{\frac{x}{2}} = 2^{y} + 7\) в первое уравнение: \[ 3^{x} - 2^{2y} = 77 \]
4. Возведем обе части второго уравнения в квадрат: \[ (3^{\frac{x}{2}})^2 = (2^{y} + 7)^2 \] \[ 3^x = (2^{y} + 7)^2 \]
5. Подставим \(3^x = (2^{y} + 7)^2\) в первое уравнение: \[ (2^{y} + 7)^2 - 2^{2y} = 77 \]
6. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ (2^{y} + 7)^2 = 2^{2y} + 14 \cdot 2^{y} + 49 \] \[ 2^{2y} + 14 \cdot 2^{y} + 49 - 2^{2y} = 77 \] \[ 14 \cdot 2^{y} + 49 = 77 \]
7. Решим уравнение \(14 \cdot 2^{y} + 49 = 77\): \[ 14 \cdot 2^{y} = 77 - 49 \] \[ 14 \cdot 2^{y} = 28 \] \[ 2^{y} = 2 \] \[ y = 1 \]
8. Подставим \(y = 1\) во второе уравнение: \[ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{1} = 7 \] \[ 3^{\frac{x}{2}} = 9 \] \[ 3^{\frac{x}{2}} = 3^2 \] \[ \frac{x}{2} = 2 \] \[ x = 4 \]
9. Проверим решение, подставив \(x = 4\) и \(y = 1\) в обе уравнения: \[ 3^{4} - 2^{2 \cdot 1} = 81 - 4 = 77 \] \[ 3^{\frac{4}{2}} - 2^{1} = 9 - 2 = 7 \]
10. Таким образом, решение системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 1 \end{matrix} \right. \]

Ответ: -3

Решение №14046: Для решения задачи вычислим значение выражения \(2 \sin \left(\frac{7 \pi}{2} + \alpha \right) + 3 \cos (\alpha + 5 \pi)\) при \(\cos \alpha = 0.2\). 1. Упростим аргумент синуса: \[ \frac{7 \pi}{2} = 2 \pi + \frac{3 \pi}{2} \] Таким образом, \[ \sin \left(\frac{7 \pi}{2} + \alpha \right) = \sin \left(2 \pi + \frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) = \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) \] 2. Используем периодичность синуса: \[ \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) = -\cos \alpha \] 3. Упростим аргумент косинуса: \[ 5 \pi = 2 \pi + 3 \pi \] Таким образом, \[ \cos (\alpha + 5 \pi) = \cos (\alpha + 2 \pi + 3 \pi) = \cos (\alpha + 3 \pi) \] 4. Используем периодичность косинуса: \[ \cos (\alpha + 3 \pi) = -\cos \alpha \] 5. Подставляем значения в исходное выражение: \[ 2 \sin \left(\frac{7 \pi}{2} + \alpha \right) + 3 \cos (\alpha + 5 \pi) = 2 \left(-\cos \alpha \right) + 3 \left(-\cos \alpha \right) \] \[ = -2 \cos \alpha - 3 \cos \alpha \] \[ = -5 \cos \alpha \] 6. Подставляем значение \(\cos \alpha = 0.2\): \[ -5 \cos \alpha = -5 \cdot 0.2 = -1 \]

Ответ: \(-1\)

Ответ: -1

Решение №14047: Для решения задачи вычисления значения \(\cos 3\alpha\) при условии \(\sin \alpha + \cos \alpha = -1\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\), следуем пошагово:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
2. Подставляем условие \(\sin \alpha + \cos \alpha = -1\) в основное тригонометрическое тождество: \[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 \] \[ (-1)^2 = 1 \Rightarrow 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 \] \[ 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \]
3. Из уравнения \(2 \sin \alpha \cos \alpha = 0\) следует, что: \[ \sin \alpha \cos \alpha = 0 \] Это возможно только если \(\sin \alpha = 0\) или \(\cos \alpha = 0\).
4. Рассматриваем диапазон \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\):
   • Если \(\sin \alpha = 0\), то \(\alpha = \pi\).
   • Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\).
5. Проверяем оба случая:
   • Для \(\alpha = \pi\): \[ \sin \pi = 0, \quad \cos \pi = -1 \] \[ \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1 \quad \text{(удовлетворяет условию)} \]
   • Для \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\): \[ \sin \frac{3\pi}{2} = -1, \quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \] \[ \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1 \quad \text{(удовлетворяет условию)} \]
6. Вычисляем \(\cos 3\alpha\) для обоих случаев:
   • Для \(\alpha = \pi\): \[ \cos 3\pi = \cos \pi = -1 \]
   • Для \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\): \[ \cos \left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) = \cos \frac{9\pi}{2} = \cos \left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \]

Ответ: \(\cos 3\alpha\) может быть \(-1\) или \(0\), в зависимости от значения \(\alpha\).

Ответ: -1

Решение №14048:

1. Используем определение котангенса: \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
2. Подставляем значение \(\cot \alpha\): \(\cot \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{5}\)
3. Находим тангенс: \(\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = -\frac{5}{\sqrt{39}}\)
4. Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
5. Выражаем \(\cos \alpha\) через \(\sin \alpha\) и \(\tan \alpha\): \(\cos \alpha = \sin \alpha \cdot \cot \alpha = \sin \alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{39}}{5}\right)\)
6. Подставляем \(\cos \alpha\) в основное тождество: \(\sin^2 \alpha + \left(\sin \alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{39}}{5}\right)\right)^2 = 1\)
7. Упрощаем выражение: \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \frac{39}{25} = 1\)
8. Объединяем члены: \(\sin^2 \alpha \left(1 + \frac{39}{25}\right) = 1\)
9. Упрощаем выражение в скобках: \(\sin^2 \alpha \left(\frac{25}{25} + \frac{39}{25}\right) = 1\) \(\sin^2 \alpha \left(\frac{64}{25}\right) = 1\)
10. Решаем уравнение: \(\sin^2 \alpha = \frac{25}{64}\)
11. Извлекаем корень: \(\sin \alpha = \pm \frac{5}{8}\)
12. Учитываем, что \(\alpha \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)\), где синус отрицателен: \(\sin \alpha = -\frac{5}{8}\)

Ответ: \(-\frac{5}{8}\)

Ответ: -0.625

Решение №14049: Для решения задачи \(\frac{\sin^2 15^\circ \cdot \sin 75^\circ}{\cos 105^\circ}\) выполним следующие шаги:

1. Используем тождество для синуса суммы углов: \(\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)\)
2. Применяем формулу суммы углов для синуса: \(\sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)
3. Подставляем значения синусов и косинусов: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
4. Вычисляем \(\sin 75^\circ\): \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
5. Используем тождество для косинуса суммы углов: \(\cos 105^\circ = \cos (90^\circ + 15^\circ)\)
6. Применяем формулу суммы углов для косинуса: \(\cos (90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ\)
7. Подставляем значение синуса: \(\cos 105^\circ = -\sin 15^\circ\)
8. Вычисляем \(\sin^2 15^\circ\): \(\sin^2 15^\circ = \left(\sin 15^\circ\right)^2\)
9. Подставляем все значения в исходное выражение: \(\frac{\sin^2 15^\circ \cdot \sin 75^\circ}{\cos 105^\circ} = \frac{\left(\sin 15^\circ\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\sin 15^\circ}\)
10. Упрощаем выражение: \(\frac{\left(\sin 15^\circ\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\sin 15^\circ} = -\frac{\sin 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sin 15^\circ\)
11. Используем значение \(\sin 15^\circ\): \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
12. Подставляем \(\sin 15^\circ\) в выражение: \(\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}\)
13. Упрощаем выражение: \(= -\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1} = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = -\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}\)
14. Вычисляем произведение: \(= -\frac{6 - 2}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}\)

Ответ: \(-\frac{1}{4}\)

Ответ: -0.25

Решение №14050: Для решения задачи вычислим значение выражения \( \cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) \) при \(\cos\alpha = 0.2\).

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)
2. Подставляем \(x = \alpha + \frac{\pi}{2}\): \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(2\alpha + \pi)\)
3. Используем свойство периодичности косинуса: \(\cos(2\alpha + \pi) = -\cos(2\alpha)\)
4. Подставляем значение \(\cos(2\alpha)\): \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\)
5. Подставляем \(\cos\alpha = 0.2\): \(\cos(2\alpha) = 2(0.2)^2 - 1 = 2 \cdot 0.04 - 1 = 0.08 - 1 = -0.92\)
6. Таким образом: \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) = -\cos(2\alpha) = -(-0.92) = 0.92\)
7. Теперь вычислим \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right)\): \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + 3\pi + \frac{\pi}{2}\right)\)
8. Используем свойство периодичности синуса: \(\sin\left(\alpha + 3\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\)
9. Используем свойство синуса: \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)\)
10. Подставляем \(\cos\alpha = 0.2\): \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = 0.2\)
11. Таким образом: \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = -0.2\)
12. Подставляем в исходное выражение: \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = 0.92 \cdot (-0.2) = -0.184\)

Ответ: \(-0.184\)

Ответ: -0.184

Решение №14051:

1. Используем формулу для суммы косинусов: $\cos 3\alpha = \cos (2\alpha + \alpha)$
2. Применяем формулу для косинуса суммы углов: $\cos 3\alpha = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$
3. Используем формулы двойного угла для косинуса и синуса: $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ и $\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$
4. Подставляем $\tan 2\alpha = \sqrt{3}$ в формулы двойного угла: $\cos 2\alpha = \frac{1 - (\sqrt{3})^2}{1 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 3}{1 + 3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $\sin 2\alpha = \frac{2 \sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
5. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу для тангенса: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, откуда $\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha$ и $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$
6. Подставляем $\tan 2\alpha = \sqrt{3}$ в формулу для $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$, откуда $\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$
7. Так как $\alpha$ находится в интервале $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$, то $\cos \alpha$ отрицателен: $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$
8. Теперь найдем $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha = \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
9. Подставляем $\cos 2\alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в формулу для $\cos 3\alpha$: $\cos 3\alpha = \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Ответ: $1$

Ответ: 0

Решение №14052: Конечно, давайте решим задачу пошагово.

1. Выражаем синусы и косинусы через углы, которые можно свести к основным углам: \[ \sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ} \sin^2 105^{\circ} \]
2. Используем тождества для углов: \[ \sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ} \sin 15^{\circ} \] и \[ \sin 105^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 75^{\circ} \] Таким образом, выражение становится: \[ \sin^3 15^{\circ} \sin^2 75^{\circ} \]
3. Используем тождество для синуса двойного угла: \[ \sin 75^{\circ} = \sin (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \] \[ \sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Поэтому: \[ \sin^2 75^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]
4. Теперь подставляем это обратно в наше выражение: \[ \sin^3 15^{\circ} \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \right) \]
5. Используем тождество для синуса 15 градусов: \[ \sin 15^{\circ} = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \] \[ \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Поэтому: \[ \sin^3 15^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)^3 \]
6. Вычисляем куб: \[ \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)^3 = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^3}{64} \] \[ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^3 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(6 - 2\sqrt{12} + 2) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(8 - 2\sqrt{12}) \] \[ = 8\sqrt{6} - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{12}\sqrt{6} + 2\sqrt{12}\sqrt{2} \] \[ = 8\sqrt{6} - 8\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 4\sqrt{6} \] \[ = 12\sqrt{6} - 20\sqrt{2} \] Поэтому: \[ \sin^3 15^{\circ} = \frac{12\sqrt{6} - 20\sqrt{2}}{64} = \frac{3\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{16} \]
7. Подставляем обратно в наше выражение: \[ \left( \frac{3\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{16} \right) \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \right) \] \[ = \frac{(3\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(2 + \sqrt{3})}{64} \]
8. Вычисляем произведение: \[ (3\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(2 + \sqrt{3}) = 6\sqrt{6} + 3\sqrt{18} - 10\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \] \[ = 6\sqrt{6} + 9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \] \[ = \sqrt{6} - \sqrt{2} \] Поэтому: \[ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{64} \]

Ответ: \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{64}\)

Ответ: 0.0625

Решение №14053:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)
2. Подставляем данное значение \(\sin 2\alpha = \frac{3}{5}\): \(\frac{3}{5} = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)
4. Подставляем \(\cos^2 \alpha\) в уравнение: \(\frac{3}{5} = 2 \sin \alpha \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\)
5. Возводим обе стороны уравнения в квадрат: \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = (2 \sin \alpha \sqrt{1 - \sin^2 \alpha})^2\)
6. Упрощаем: \(\frac{9}{25} = 4 \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)\)
7. Вводим обозначение \(x = \sin^2 \alpha\): \(\frac{9}{25} = 4x(1 - x)\)
8. Решаем квадратное уравнение: \(\frac{9}{25} = 4x - 4x^2\)
9. Переписываем уравнение в стандартной форме: \(4x^2 - 4x + \frac{9}{25} = 0\)
10. Решаем квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = \frac{9}{25}\): \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{9}{25}}}{8}\)
11. Упрощаем подкоренное выражение: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - \frac{144}{25}}}{8}\)
12. Упрощаем дальше: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{400 - 144}{25}}}{8}\)
13. Упрощаем: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{256}{25}}}{8}\)
14. Упрощаем: \(x = \frac{4 \pm \frac{16}{5}}{8}\)
15. Рассчитываем два возможных значения: \(x = \frac{4 + \frac{16}{5}}{8} = \frac{4 \cdot 5 + 16}{5 \cdot 8} = \frac{20 + 16}{40} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}\)
\(x = \frac{4 - \frac{16}{5}}{8} = \frac{4 \cdot 5 - 16}{5 \cdot 8} = \frac{20 - 16}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}\)
16. Таким образом, \(\sin^2 \alpha\) может быть либо \(\frac{9}{10}\), либо \(\frac{1}{10}\)

Ответ: \(\sin^2 \alpha = \frac{9}{10}\) или \(\sin^2 \alpha = \frac{1}{10}\)

Ответ: 0.1

Решение №14054: Для решения задачи Вычислить значение \( \sin^2 \alpha \), если \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \) выполним следующие шаги:

1. Используем определение тангенса: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставляем значение \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \): \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{2} \]
2. Выражаем \(\sin \alpha\) через \(\cos \alpha\): \[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
4. Подставляем \(\sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha\) в основное тригонометрическое тождество: \[ \left( \frac{1}{2} \cos \alpha \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{5}{4} \cos^2 \alpha = 1 \]
5. Решаем уравнение для \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} \]
6. Вычисляем \(\sin^2 \alpha\) с использованием основного тригонометрического тождества: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{5} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} \]

Ответ: \(\sin^2 \alpha = \frac{1}{5}\)

Ответ: 0.2

Решение №14055:

1. Используем формулу для суммы квадратов синуса и косинуса: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
2. Выразим \(\sin^2 \alpha\) через \(\cos^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)
3. Используем формулу для тангенса двойного угла: \(\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\)
4. Подставим \(\tan 2\alpha = 2\sqrt{2}\): \(\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = 2\sqrt{2}\)
5. Решим уравнение для \(\tan \alpha\): \(2 \tan \alpha = 2\sqrt{2}(1 - \tan^2 \alpha)\) \(\tan \alpha = \sqrt{2}(1 - \tan^2 \alpha)\)
6. Решим квадратное уравнение: \(\tan^2 \alpha + \sqrt{2} \tan \alpha - \sqrt{2} = 0\)
7. Найдем корни уравнения: \(\tan \alpha = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 8}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{10}}{2}\)
8. Выберем положительный корень, так как \(\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right)\): \(\tan \alpha = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}\)
9. Найдем \(\cos^2 \alpha\) через \(\tan \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}\)
10. Подставим \(\tan \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left(\frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}\right)^2}\)
11. Упростим выражение: \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{2 - 2\sqrt{2}\sqrt{10} + 10}{4}} = \frac{1}{1 + \frac{12 - 2\sqrt{20}}{4}} = \frac{1}{1 + 3 - \sqrt{5}} = \frac{1}{4 - \sqrt{5}}\)
12. Найдем \(\sin^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4 - \sqrt{5}}\)
13. Упростим выражение: \(\sin^2 \alpha = \frac{4 - \sqrt{5} - 1}{4 - \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}\)
14. Умножим числитель и знаменатель на \(4 + \sqrt{5}\): \(\sin^2 \alpha = \frac{(3 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5})} = \frac{12 + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5}{16 - 5} = \frac{7 - \sqrt{5}}{11}\)

Ответ: \(\sin^2 \alpha = \frac{7 - \sqrt{5}}{11}\)

Ответ: 0.3333333333333333

Решение №14056: Для вычисления значения \(\sin^2 \alpha\), если \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для синуса через тангенс половинного угла: \(\sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}\)
2. Подставляем \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\) в формулу: \(\sin \alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}\)
3. Возводим \(\sin \alpha\) в квадрат, чтобы найти \(\sin^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\)

Ответ: \(\frac{9}{25}\)

Ответ: 0.36

Решение №14057: Конечно, давайте решим задачу пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\)
2. Подставляем известное значение \(\cos 2\alpha = \frac{1}{4}\): \(\frac{1}{4} = 1 - 2\sin^2 \alpha\)
3. Решаем уравнение относительно \(\sin^2 \alpha\): \(1 - 2\sin^2 \alpha = \frac{1}{4}\)
4. Переносим все члены, кроме \(\sin^2 \alpha\), в одну сторону: \(2\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4}\)
5. Упрощаем правую часть уравнения: \(2\sin^2 \alpha = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
6. Делим обе части уравнения на 2: \(\sin^2 \alpha = \frac{3}{8}\)

Ответ: \(\sin^2 \alpha = \frac{3}{8}\)

Ответ: 0.375

Решение №14058: Для решения выражения \( \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \sin(960^{\circ}) \) выполним следующие шаги: ```html

1. Упростим \( \sin(960^{\circ}) \):
   • \( 960^{\circ} = 960^{\circ} - 2 \cdot 360^{\circ} = 960^{\circ} - 720^{\circ} = 240^{\circ} \)
   • \( \sin(240^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin(60^{\circ}) \)
   • \( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( \sin(240^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
2. Подставим \( \sin(960^{\circ}) \) в выражение:
   • \( \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \sin(960^{\circ}) = \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
   • \( = \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4} \)
3. Упростим \( \sin(105^{\circ}) \):
   • \( 105^{\circ} = 90^{\circ} + 15^{\circ} \)
   • \( \sin(105^{\circ}) = \sin(90^{\circ} + 15^{\circ}) = \cos(15^{\circ}) \)
4. Подставим \( \sin(105^{\circ}) \) в выражение:
   • \( \cos(15^{\circ}) \cos(15^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4} \)
   • \( = \cos^2(15^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4} \)
5. Используем формулу для косинуса двойного угла:
   • \( \cos^2(15^{\circ}) = \frac{1 + \cos(30^{\circ})}{2} \)
   • \( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   • \( \cos^2(15^{\circ}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \)
6. Подставим \( \cos^2(15^{\circ}) \) в выражение:
   • \( \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \)
   • \( = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \(\frac{1}{2}\)

Ответ: 0.5

Решение №14059: Для решения выражения \( \cos 195^\circ \cos 105^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ \) пошагово, выполним следующие действия:

1. Применим формулы уменьшения углов для тригонометрических функций: \[ \cos 195^\circ = \cos (180^\circ + 15^\circ) = -\cos 15^\circ \] \[ \cos 105^\circ = \cos (180^\circ - 75^\circ) = -\cos 75^\circ \]
2. Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \cos 195^\circ \cos 105^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ = (-\cos 15^\circ)(-\cos 75^\circ) + \sin 105^\circ \cos 75^\circ \] \[ = \cos 15^\circ \cos 75^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ \]
3. Используем тождество для суммы углов синуса: \[ \sin (105^\circ + 75^\circ) = \sin 180^\circ = 0 \]
4. Таким образом, выражение упрощается до: \[ \cos 15^\circ \cos 75^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ = 0 \]

Ответ: 0

Ответ: 0.5

Решение №14060:

1. Используем формулу для произведения синусов: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos (22^{\circ} - 68^{\circ}) - \cos (22^{\circ} + 68^{\circ}))\)
2. Вычисляем углы: \(22^{\circ} - 68^{\circ} = -46^{\circ}\) \(22^{\circ} + 68^{\circ} = 90^{\circ}\)
3. Подставляем углы в формулу: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos (-46^{\circ}) - \cos 90^{\circ})\)
4. Используем свойства косинуса: \(\cos (-46^{\circ}) = \cos 46^{\circ}\) \(\cos 90^{\circ} = 0\). Тогда: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} \cos 46^{\circ}\)
5. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 46^{\circ} = 2 \cos^2 23^{\circ} - 1\). Тогда: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} (2 \cos^2 23^{\circ} - 1)\)
6. Подставляем в исходное выражение: \(\frac{\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ}}{2 \cos^2 23^{\circ} - 1} = \frac{\frac{1}{2} (2 \cos^2 23^{\circ} - 1)}{2 \cos^2 23^{\circ} - 1}\)
7. Сокращаем дроби: \(\frac{\frac{1}{2} (2 \cos^2 23^{\circ} - 1)}{2 \cos^2 23^{\circ} - 1} = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{1}{2}\)

Ответ: 0.5

Решение №14061:

1. Известно, что \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \).
2. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставляем значение \(\cos \alpha\): \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \]
3. Так как \(\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]\), то \(\sin \alpha\) должен быть положительным. Поэтому: \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} \] \[ \sin \alpha = \frac{3}{5} \]

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)

Ответ: 0.6

Решение №14062: Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для выделения пунктов.

1. Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x)$
2. Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) = 1 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x)$
3. Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$
4. Подставляем $\sin^2 2x$ в нашу формулу: $2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x$. Тогда: $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$
5. Подставляем $x = \frac{\pi}{8}$ для $\cos^4 \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{7\pi}{8}$ для $\sin^4 \frac{7\pi}{8}$: $2x = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ и $2x = \frac{14\pi}{8} = \frac{7\pi}{4}$
6. Находим $\sin \frac{7\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$: $\sin \frac{7\pi}{4} = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
7. Вычисляем $\sin^2 \frac{7\pi}{4}$ и $\sin^2 \frac{\pi}{4}$: $\sin^2 \frac{7\pi}{4} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$ и $\sin^2 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$
8. Подставляем в формулу: $(\sin \frac{7\pi}{8})^4 + (\cos \frac{\pi}{8})^4 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

Ответ: 0.75

Решение №14063: Для решения задачи, где дано \( \cos \alpha = 0.2 \), и нужно вычислить \( \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \), рассмотрим пошаговое решение.

1. Используем тождество для синуса суммы углов: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \]
2. Применим тождество для синуса суммы углов: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2\alpha \cos \frac{3\pi}{2} + \cos 2\alpha \sin \frac{3\pi}{2} \]
3. Значения тригонометрических функций: \[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \quad \text{и} \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \]
4. Подставим эти значения: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2\alpha \cdot 0 + \cos 2\alpha \cdot (-1) = -\cos 2\alpha \]
5. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \]
6. Подставим \( \cos \alpha = 0.2 \): \[ \cos 2\alpha = 2(0.2)^2 - 1 = 2 \cdot 0.04 - 1 = 0.08 - 1 = -0.92 \]
7. Теперь подставим \( \cos 2\alpha \) в выражение: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos 2\alpha = -(-0.92) = 0.92 \]

Ответ: \( 0.92 \)

Ответ: 0.92

Решение №14064: Конечно, давайте решим задачу пошагово.

1. Упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность функций синуса и косинуса:
• Для косинуса: $\cos(570^\circ) = \cos(570^\circ - 360^\circ) = \cos(210^\circ)$
• Для синуса: $\sin(-840^\circ) = \sin(-840^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \sin(-120^\circ)$
2. Упростим далее:
• $\cos(210^\circ) = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$
• $\sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ)$
3. Вычислим значения тригонометрических функций:
• $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
4. Возведем эти значения в квадрат:
• $\cos^2(210^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
• $\sin^2(-120^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
5. Теперь вычислим отношение:
• $\frac{\cos^2(210^\circ)}{\sin^2(-120^\circ)} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = 1$

Ответ: $1$

Ответ: 1

Решение №14065:

1. Найдем значения \(x_1\) и \(x_2\):
   • \(x_1 = \cos \frac{8\pi}{3}\)
   • \(x_2 = \cos \frac{17\pi}{3}\)
2. Упростим углы:
   • \(\frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3}\)
   • \(\frac{17\pi}{3} = 5\pi + \frac{2\pi}{3} = 5\pi + \frac{2\pi}{3} - 2\pi = 3\pi + \frac{2\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{3} - \pi = \frac{2\pi}{3}\)
3. Используем периодичность косинуса (\(\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)\)):
   • \(\cos \frac{8\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3}\)
   • \(\cos \frac{17\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3}\)
4. Найдем значения косинусов:
   • \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\)
   • \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\)
5. Теперь \(x_1 = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = -\frac{1}{2}\)
6. Вычислим расстояние между точками \(x_1\) и \(x_2\):
   • \(|x_1 - x_2| = |-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})| = |-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}| = |0| = 0\)

Ответ: 0

Ответ: 1

Решение №14066: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Используем тождества для углов: \(\cos 85^\circ = \cos (90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ\) и \(\cos 55^\circ = \cos (90^\circ - 35^\circ) = \sin 35^\circ\)
2. Подставляем эти тождества в исходное выражение: \(\frac{\cos 35^\circ + 2 \cos 85^\circ}{\sqrt{3} \cos 55^\circ} = \frac{\cos 35^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)
3. Выражаем \(\cos 35^\circ\) через \(\sin 55^\circ\): \(\cos 35^\circ = \sin 55^\circ\)
4. Подставляем \(\sin 55^\circ\) в выражение: \(\frac{\sin 55^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)
5. Используем формулу суммы синусов: \(\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right)\)
6. Применяем формулу к \(\sin 55^\circ + \sin 5^\circ\): \(\sin 55^\circ + \sin 5^\circ = 2 \sin \left(\frac{55^\circ + 5^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{55^\circ - 5^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 25^\circ\)
7. Подставляем это в выражение: \(\frac{2 \sin 30^\circ \cos 25^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)
8. Используем значения \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \(\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cos 25^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ} = \frac{\cos 25^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)
9. Используем тождество для \(\cos 25^\circ\): \(\cos 25^\circ = \sin 65^\circ\)
10. Подставляем \(\sin 65^\circ\) в выражение: \(\frac{\sin 65^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)
11. Используем формулу суммы синусов для \(\sin 65^\circ + \sin 5^\circ\): \(\sin 65^\circ + \sin 5^\circ = 2 \sin \left(\frac{65^\circ + 5^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{65^\circ - 5^\circ}{2}\right) = 2 \sin 35^\circ \cos 30^\circ\)
12. Подставляем это в выражение: \(\frac{2 \sin 35^\circ \cos 30^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)
13. Сокращаем \(\sin 35^\circ\): \(\frac{2 \cos 30^\circ}{\sqrt{3}}\)
14. Используем значение \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\)

Ответ: 1

Ответ: 1

Решение №14068: Для решения задачи \(\frac{\sqrt{3}+\operatorname{tg}\frac{11\pi}{12}}{1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для тангенса суммы углов: \(\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b}\)
2. Заметим, что \(\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}\). Тогда: \(\operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{12}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}\)
3. Подставляем это в исходное выражение: \(\frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{12}\right)}{1 + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1 + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}\)
4. Используем формулу тангенса угла \(\frac{\pi}{3}\): \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\). Тогда: \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\)
5. Так как \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1\), то: \(\frac{\sqrt{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1 + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}} = 1\)

Ответ: \(1\)

Ответ: 1

Решение №14069:

1. Упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность функций синуса и тангенса:
   • \(\cos(2.9\pi) = \cos(2\pi + 0.9\pi) = \cos(0.9\pi)\)
   • \(\tan(2.4\pi) = \tan(2\pi + 0.4\pi) = \tan(0.4\pi)\)
   • \(\tan(1.1\pi) = \tan(\pi + 0.1\pi) = \tan(0.1\pi)\)
2. Подставляем упрощённые аргументы в исходное выражение: \[\frac{\cos(0.9\pi) \tan(0.4\pi) \tan(0.1\pi)}{\cos(0.9\pi)}\]
3. Сокращаем \(\cos(0.9\pi)\) в числителе и знаменателе: \[\tan(0.4\pi) \tan(0.1\pi)\]
4. Используем значения тангенса для специальных углов:
   • \(\tan(0.4\pi) = \tan\left(\frac{2\pi}{5}\right)\)
   • \(\tan(0.1\pi) = \tan\left(\frac{\pi}{10}\right)\)
5. Подставляем известные значения тангенса:
   • \(\tan\left(\frac{2\pi}{5}\right) \approx 1.376\)
   • \(\tan\left(\frac{\pi}{10}\right) \approx 0.325\)
6. Вычисляем произведение: \[1.376 \times 0.325 \approx 0.447\]

Ответ: \(\approx 0.447\)

Ответ: 1

Решение №14070: Для вычисления \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. Подставим \(a = \sin 15^\circ\) и \(b = \cos 15^\circ\): \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = \sin^2 15^\circ + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ + \cos^2 15^\circ\)
3. Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = 1 + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ\)
4. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), откуда \(\sin 30^\circ = 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ\)
5. Подставим \(\sin 30^\circ\) в нашу формулу: \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = 1 + \sin 30^\circ\)
6. Значение \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

Ответ: 1.5

Решение №14071: Конечно! Давайте решим задачу пошагово: 1. Преобразуем углы в градусах к углам в радианах и используем периодичность тригонометрических функций. 2. Упростим выражение, используя тригонометрические тождества.

1. Преобразуем углы в градусах к углам в радианах: \[ \sin(450^\circ) = \sin\left(450^\circ - 360^\circ\right) = \sin(90^\circ) \] \[ \cos(-690^\circ) = \cos\left(-690^\circ + 720^\circ\right) = \cos(30^\circ) \] \[ \sin(780^\circ) = \sin\left(780^\circ - 720^\circ\right) = \sin(60^\circ) \]
2. Подставляем значения тригонометрических функций для известных углов: \[ \sin(90^\circ) = 1 \] \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
3. Подставляем эти значения в исходное выражение: \[ \sin(450^\circ) + \cos(-690^\circ) \cdot \sin(780^\circ) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
4. Умножаем: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{3}{4} \]
5. Складываем: \[ 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \]

Ответ: $\frac{7}{4}$

Ответ: 1.75

Решение №14072: Конечно, давайте решим задачу пошагово.

1. Используем тригонометрическое тождество для угла 117°: \(\sin 117^\circ = \sin (180^\circ - 63^\circ) = \sin 63^\circ\)
2. Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\sin 54^\circ}{\cos 63^\circ \sin 117^\circ} = \frac{\sin 54^\circ}{\cos 63^\circ \sin 63^\circ}\)
3. Используем тождество для угла 54°: \(\sin 54^\circ = \cos 36^\circ\)
4. Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\cos 63^\circ \sin 63^\circ}\)
5. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 63^\circ = \cos (90^\circ - 63^\circ) = \cos 27^\circ\)
6. Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\cos 63^\circ \cos 27^\circ}\)
7. Используем тождество для двойного угла косинуса: \(\cos 63^\circ = \cos (90^\circ - 27^\circ) = \sin 27^\circ\)
8. Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}\)
9. Используем тождество для двойного угла синуса: \(\sin 27^\circ \cos 27^\circ = \frac{1}{2} \sin 54^\circ\)
10. Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\frac{1}{2} \sin 54^\circ}\)
11. Упрощаем выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\frac{1}{2} \cos 36^\circ} = 2\)

Ответ: 2

Ответ: 2

Решение №14073: Конечно, давайте решим задачу пошагово.

1. Используем тождество для произведения синусов: \(\sin 35^\circ \sin 55^\circ = \frac{1}{2} [\cos (35^\circ - 55^\circ) - \cos (35^\circ + 55^\circ)]\)
2. Вычисляем углы: \(35^\circ - 55^\circ = -20^\circ\) и \(35^\circ + 55^\circ = 90^\circ\)
3. Подставляем углы в формулу: \(\sin 35^\circ \sin 55^\circ = \frac{1}{2} [\cos (-20^\circ) - \cos 90^\circ]\)
4. Используем свойства косинуса: \(\cos (-20^\circ) = \cos 20^\circ\) и \(\cos 90^\circ = 0\)
5. Подставляем значения: \(\sin 35^\circ \sin 55^\circ = \frac{1}{2} [\cos 20^\circ - 0] = \frac{1}{2} \cos 20^\circ\)
6. Теперь подставляем это в исходное выражение: \(\frac{6 \sin 35^\circ \sin 55^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ}\)
7. Упрощаем выражение: \(\frac{6 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{3 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 3\)

Ответ: 3

Ответ: 3

Решение №14074: Для решения задачи вычисления значения выражения \( \sin^2\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + 4\cos^2\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \) при \( \cos \alpha = 0.2 \), следуем пошаговым вычислениям:

1. Используем периодичность тригонометрических функций: \[ \sin\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \] \[ \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \]
2. Применяем тригонометрические тождества: \[ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \alpha \] \[ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \alpha \]
3. Подставляем эти значения в исходное выражение: \[ \sin^2\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + 4\cos^2\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) + 4\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \] \[ = (-\cos \alpha)^2 + 4(-\sin \alpha)^2 \] \[ = \cos^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha \]
4. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ \cos^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + 4(1 - \cos^2 \alpha) \] \[ = \cos^2 \alpha + 4 - 4\cos^2 \alpha \] \[ = 4 - 3\cos^2 \alpha \]
5. Подставляем значение \(\cos \alpha = 0.2\): \[ 4 - 3(0.2)^2 = 4 - 3(0.04) \] \[ = 4 - 0.12 \] \[ = 3.88 \]

Ответ: \(3.88\)

Ответ: 3.88

Решение №14075: Для решения задачи вычисления \( \operatorname{ctg} \alpha \), зная \( \cos \alpha = -\frac{21}{29} \) и \( \alpha \in (2\pi; 3\pi) \), выполним следующие шаги:

1. Найдём \(\sin \alpha\), используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим \(\cos \alpha = -\frac{21}{29}\): \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{21}{29}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{441}{841} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{441}{841} = \frac{841}{841} - \frac{441}{841} = \frac{400}{841} \] \[ \sin \alpha = \pm \frac{20}{29} \]
2. Определим знак \(\sin \alpha\) на основании интервала \(\alpha \in (2\pi; 3\pi)\): В этом интервале \(\sin \alpha\) отрицательно, поэтому: \[ \sin \alpha = -\frac{20}{29} \]
3. Вычислим \(\operatorname{ctg} \alpha\), используя определение котангенса: \[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Подставим \(\cos \alpha = -\frac{21}{29}\) и \(\sin \alpha = -\frac{20}{29}\): \[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{-\frac{21}{29}}{-\frac{20}{29}} = \frac{21}{20} \]

Ответ: \(\frac{21}{20}\)

Ответ: 0,4