№14064

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(sin^{4}\frac{7\pi}{8}+cos^{4}\frac{\pi}{8}\)

Ответ

0.75

Решение № 14062:

Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для выделения пунктов. <ol> <li>Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x)$</li> <li>Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) = 1 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x)$</li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$</li> <li>Подставляем $\sin^2 2x$ в нашу формулу: $2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x$. Тогда: $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$</li> <li>Подставляем $x = \frac{\pi}{8}$ для $\cos^4 \frac{\pi}{8}$ и $x = \frac{7\pi}{8}$ для $\sin^4 \frac{7\pi}{8}$: $2x = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ и $2x = \frac{14\pi}{8} = \frac{7\pi}{4}$</li> <li>Находим $\sin \frac{7\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$: $\sin \frac{7\pi}{4} = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$</li> <li>Вычисляем $\sin^2 \frac{7\pi}{4}$ и $\sin^2 \frac{\pi}{4}$: $\sin^2 \frac{7\pi}{4} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$ и $\sin^2 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$</li> <li>Подставляем в формулу: $(\sin \frac{7\pi}{8})^4 + (\cos \frac{\pi}{8})^4 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $\frac{3}{4}$</p>