№14073

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(sin(450^{0})+cos(-690^{0})\cdot sin(780^{0})\)

Ответ

1.75

Решение № 14071:

Конечно! Давайте решим задачу пошагово: 1. Преобразуем углы в градусах к углам в радианах и используем периодичность тригонометрических функций. 2. Упростим выражение, используя тригонометрические тождества. <ol> <li>Преобразуем углы в градусах к углам в радианах: \[ \sin(450^\circ) = \sin\left(450^\circ - 360^\circ\right) = \sin(90^\circ) \] \[ \cos(-690^\circ) = \cos\left(-690^\circ + 720^\circ\right) = \cos(30^\circ) \] \[ \sin(780^\circ) = \sin\left(780^\circ - 720^\circ\right) = \sin(60^\circ) \] </li> <li>Подставляем значения тригонометрических функций для известных углов: \[ \sin(90^\circ) = 1 \] \[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] </li> <li>Подставляем эти значения в исходное выражение: \[ \sin(450^\circ) + \cos(-690^\circ) \cdot \sin(780^\circ) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] </li> <li>Умножаем: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{3}{4} \] </li> <li>Складываем: \[ 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $\frac{7}{4}$</p>