№14048

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Значение \(cos\alpha=0,2\). Вычислить: значения выражений\(2sin\left (\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)+3cos(\alpha+5\pi)\)

Ответ

-1

Решение № 14046:

Для решения задачи вычислим значение выражения \(2 \sin \left(\frac{7 \pi}{2} + \alpha \right) + 3 \cos (\alpha + 5 \pi)\) при \(\cos \alpha = 0.2\). 1. Упростим аргумент синуса: \[ \frac{7 \pi}{2} = 2 \pi + \frac{3 \pi}{2} \] Таким образом, \[ \sin \left(\frac{7 \pi}{2} + \alpha \right) = \sin \left(2 \pi + \frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) = \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) \] 2. Используем периодичность синуса: \[ \sin \left(\frac{3 \pi}{2} + \alpha \right) = -\cos \alpha \] 3. Упростим аргумент косинуса: \[ 5 \pi = 2 \pi + 3 \pi \] Таким образом, \[ \cos (\alpha + 5 \pi) = \cos (\alpha + 2 \pi + 3 \pi) = \cos (\alpha + 3 \pi) \] 4. Используем периодичность косинуса: \[ \cos (\alpha + 3 \pi) = -\cos \alpha \] 5. Подставляем значения в исходное выражение: \[ 2 \sin \left(\frac{7 \pi}{2} + \alpha \right) + 3 \cos (\alpha + 5 \pi) = 2 \left(-\cos \alpha \right) + 3 \left(-\cos \alpha \right) \] \[ = -2 \cos \alpha - 3 \cos \alpha \] \[ = -5 \cos \alpha \] 6. Подставляем значение \(\cos \alpha = 0.2\): \[ -5 \cos \alpha = -5 \cdot 0.2 = -1 \] <p><strong>Ответ:</strong> \(-1\)</p>