№14053

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: значение \(cos3\alpha\), если\(tg2\alpha=\sqrt{3}, \alpha\epsilon\left(\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\)

Ответ

0

Решение № 14051:

<ol> <li>Используем формулу для суммы косинусов: $\cos 3\alpha = \cos (2\alpha + \alpha)$</li> <li>Применяем формулу для косинуса суммы углов: $\cos 3\alpha = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$</li> <li>Используем формулы двойного угла для косинуса и синуса: $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ и $\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$</li> <li>Подставляем $\tan 2\alpha = \sqrt{3}$ в формулы двойного угла: $\cos 2\alpha = \frac{1 - (\sqrt{3})^2}{1 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 3}{1 + 3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $\sin 2\alpha = \frac{2 \sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$</li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу для тангенса: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, откуда $\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha$ и $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}$</li> <li>Подставляем $\tan 2\alpha = \sqrt{3}$ в формулу для $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$, откуда $\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$</li> <li>Так как $\alpha$ находится в интервале $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$, то $\cos \alpha$ отрицателен: $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$</li> <li>Теперь найдем $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \tan \alpha \cos \alpha = \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$</li> <li>Подставляем $\cos 2\alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ в формулу для $\cos 3\alpha$: $\cos 3\alpha = \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $1$</p>