№14054

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(sin15^{0}cos75^{0}sin^{2}105^{0}\)

Ответ

0.0625

Решение № 14052:

Конечно, давайте решим задачу пошагово. <ol> <li>Выражаем синусы и косинусы через углы, которые можно свести к основным углам: \[ \sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ} \sin^2 105^{\circ} \] </li> <li>Используем тождества для углов: \[ \sin 15^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ} \sin 15^{\circ} \] и \[ \sin 105^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 75^{\circ} \] Таким образом, выражение становится: \[ \sin^3 15^{\circ} \sin^2 75^{\circ} \] </li> <li>Используем тождество для синуса двойного угла: \[ \sin 75^{\circ} = \sin (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \] \[ \sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Поэтому: \[ \sin^2 75^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \] </li> <li>Теперь подставляем это обратно в наше выражение: \[ \sin^3 15^{\circ} \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \right) \] </li> <li>Используем тождество для синуса 15 градусов: \[ \sin 15^{\circ} = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \] \[ \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Поэтому: \[ \sin^3 15^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)^3 \] </li> <li>Вычисляем куб: \[ \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)^3 = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^3}{64} \] \[ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^3 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(6 - 2\sqrt{12} + 2) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})(8 - 2\sqrt{12}) \] \[ = 8\sqrt{6} - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{12}\sqrt{6} + 2\sqrt{12}\sqrt{2} \] \[ = 8\sqrt{6} - 8\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 4\sqrt{6} \] \[ = 12\sqrt{6} - 20\sqrt{2} \] Поэтому: \[ \sin^3 15^{\circ} = \frac{12\sqrt{6} - 20\sqrt{2}}{64} = \frac{3\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{16} \] </li> <li>Подставляем обратно в наше выражение: \[ \left( \frac{3\sqrt{6} - 5\sqrt{2}}{16} \right) \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \right) \] \[ = \frac{(3\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(2 + \sqrt{3})}{64} \] </li> <li>Вычисляем произведение: \[ (3\sqrt{6} - 5\sqrt{2})(2 + \sqrt{3}) = 6\sqrt{6} + 3\sqrt{18} - 10\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \] \[ = 6\sqrt{6} + 9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \] \[ = \sqrt{6} - \sqrt{2} \] Поэтому: \[ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{64} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{64}\)</p>