№14058

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: значение \(sin^{2}\alpha\), если\(tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}\)

Ответ

0.36

Решение № 14056:

Для вычисления значения \(\sin^2 \alpha\), если \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Используем формулу для синуса через тангенс половинного угла: \(\sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}\)</li> <li>Подставляем \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}\) в формулу: \(\sin \alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}\)</li> <li>Возводим \(\sin \alpha\) в квадрат, чтобы найти \(\sin^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{9}{25}\)</p>