№14066

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(cos^{2}(570^{0}):sin^{2}(-840^{0})\)

Ответ

1

Решение № 14064:

Конечно, давайте решим задачу пошагово. <ol> <li>Упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность функций синуса и косинуса:</li> <ul> <li>Для косинуса: $\cos(570^\circ) = \cos(570^\circ - 360^\circ) = \cos(210^\circ)$</li> <li>Для синуса: $\sin(-840^\circ) = \sin(-840^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \sin(-120^\circ)$</li> </ul> <li>Упростим далее:</li> <ul> <li>$\cos(210^\circ) = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$</li> <li>$\sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ)$</li> </ul> <li>Вычислим значения тригонометрических функций:</li> <ul> <li>$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\cos(210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$</li> <li>$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin(-120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$</li> </ul> <li>Возведем эти значения в квадрат:</li> <ul> <li>$\cos^2(210^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$</li> <li>$\sin^2(-120^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$</li> </ul> <li>Теперь вычислим отношение:</li> <ul> <li>$\frac{\cos^2(210^\circ)}{\sin^2(-120^\circ)} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = 1$</li> </ul> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> $1$</p>