№14072

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \((sin15^{0}+cos15^{0})^{2}\)

Ответ

1.5

Решение № 14070:

Для вычисления \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Используем формулу для квадрата суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)</li> <li>Подставим \(a = \sin 15^\circ\) и \(b = \cos 15^\circ\): \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = \sin^2 15^\circ + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ + \cos^2 15^\circ\)</li> <li>Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = 1 + 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ\)</li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), откуда \(\sin 30^\circ = 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ\)</li> <li>Подставим \(\sin 30^\circ\) в нашу формулу: \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = 1 + \sin 30^\circ\)</li> <li>Значение \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \(( \sin 15^\circ + \cos 15^\circ )^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{3}{2}\)</p>