№14049

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: значение \(cos3\alpha\), если\(sin\alpha+cos\alpha=-1, \alpha\epsilon\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\)

Ответ

-1

Решение № 14047:

Для решения задачи вычисления значения \(\cos 3\alpha\) при условии \(\sin \alpha + \cos \alpha = -1\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\), следуем пошагово: <ol> <li>Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] </li> <li>Подставляем условие \(\sin \alpha + \cos \alpha = -1\) в основное тригонометрическое тождество: \[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 \] \[ (-1)^2 = 1 \Rightarrow 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 \] \[ 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0 \] </li> <li>Из уравнения \(2 \sin \alpha \cos \alpha = 0\) следует, что: \[ \sin \alpha \cos \alpha = 0 \] Это возможно только если \(\sin \alpha = 0\) или \(\cos \alpha = 0\). </li> <li>Рассматриваем диапазон \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\): <ul> <li>Если \(\sin \alpha = 0\), то \(\alpha = \pi\).</li> <li>Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\).</li> </ul> </li> <li>Проверяем оба случая: <ul> <li>Для \(\alpha = \pi\): \[ \sin \pi = 0, \quad \cos \pi = -1 \] \[ \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1 \quad \text{(удовлетворяет условию)} \] </li> <li>Для \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\): \[ \sin \frac{3\pi}{2} = -1, \quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \] \[ \sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1 \quad \text{(удовлетворяет условию)} \] </li> </ul> </li> <li>Вычисляем \(\cos 3\alpha\) для обоих случаев: <ul> <li>Для \(\alpha = \pi\): \[ \cos 3\pi = \cos \pi = -1 \] </li> <li>Для \(\alpha = \frac{3\pi}{2}\): \[ \cos \left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) = \cos \frac{9\pi}{2} = \cos \left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \] </li> </ul> </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\cos 3\alpha\) может быть \(-1\) или \(0\), в зависимости от значения \(\alpha\).</p>