№14068

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(\frac{cos35^{0}+2cos85^{0}}{\sqrt{3}cos55^{0}}\)

Ответ

1

Решение № 14066:

Конечно, давайте решим задачу пошагово: <ol> <li>Используем тождества для углов: \(\cos 85^\circ = \cos (90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ\) и \(\cos 55^\circ = \cos (90^\circ - 35^\circ) = \sin 35^\circ\)</li> <li>Подставляем эти тождества в исходное выражение: \(\frac{\cos 35^\circ + 2 \cos 85^\circ}{\sqrt{3} \cos 55^\circ} = \frac{\cos 35^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)</li> <li>Выражаем \(\cos 35^\circ\) через \(\sin 55^\circ\): \(\cos 35^\circ = \sin 55^\circ\)</li> <li>Подставляем \(\sin 55^\circ\) в выражение: \(\frac{\sin 55^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)</li> <li>Используем формулу суммы синусов: \(\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right)\)</li> <li>Применяем формулу к \(\sin 55^\circ + \sin 5^\circ\): \(\sin 55^\circ + \sin 5^\circ = 2 \sin \left(\frac{55^\circ + 5^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{55^\circ - 5^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 25^\circ\)</li> <li>Подставляем это в выражение: \(\frac{2 \sin 30^\circ \cos 25^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)</li> <li>Используем значения \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\): \(\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cos 25^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ} = \frac{\cos 25^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)</li> <li>Используем тождество для \(\cos 25^\circ\): \(\cos 25^\circ = \sin 65^\circ\)</li> <li>Подставляем \(\sin 65^\circ\) в выражение: \(\frac{\sin 65^\circ + 2 \sin 5^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)</li> <li>Используем формулу суммы синусов для \(\sin 65^\circ + \sin 5^\circ\): \(\sin 65^\circ + \sin 5^\circ = 2 \sin \left(\frac{65^\circ + 5^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{65^\circ - 5^\circ}{2}\right) = 2 \sin 35^\circ \cos 30^\circ\)</li> <li>Подставляем это в выражение: \(\frac{2 \sin 35^\circ \cos 30^\circ}{\sqrt{3} \sin 35^\circ}\)</li> <li>Сокращаем \(\sin 35^\circ\): \(\frac{2 \cos 30^\circ}{\sqrt{3}}\)</li> <li>Используем значение \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> 1</p>