№14065

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Значение \(cos\alpha=0,2\). Вычислить: значения выражений\(sin\left(2\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)\)

Ответ

0.92

Решение № 14063:

Для решения задачи, где дано \( \cos \alpha = 0.2 \), и нужно вычислить \( \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \), рассмотрим пошаговое решение. <ol> <li>Используем тождество для синуса суммы углов: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \] </li> <li>Применим тождество для синуса суммы углов: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2\alpha \cos \frac{3\pi}{2} + \cos 2\alpha \sin \frac{3\pi}{2} \] </li> <li>Значения тригонометрических функций: \[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \quad \text{и} \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \] </li> <li>Подставим эти значения: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2\alpha \cdot 0 + \cos 2\alpha \cdot (-1) = -\cos 2\alpha \] </li> <li>Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \] </li> <li>Подставим \( \cos \alpha = 0.2 \): \[ \cos 2\alpha = 2(0.2)^2 - 1 = 2 \cdot 0.04 - 1 = 0.08 - 1 = -0.92 \] </li> <li>Теперь подставим \( \cos 2\alpha \) в выражение: \[ \sin \left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos 2\alpha = -(-0.92) = 0.92 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \( 0.92 \)</p>