№14056

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: значение \(sin^{2}\alpha\), если\(tg\alpha=\frac{1}{2}\)

Ответ

0.2

Решение № 14054:

Для решения задачи Вычислить значение \( \sin^2 \alpha \), если \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Используем определение тангенса: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Подставляем значение \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \): \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{2} \] </li> <li>Выражаем \(\sin \alpha\) через \(\cos \alpha\): \[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha \] </li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] </li> <li>Подставляем \(\sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha\) в основное тригонометрическое тождество: \[ \left( \frac{1}{2} \cos \alpha \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{5}{4} \cos^2 \alpha = 1 \] </li> <li>Решаем уравнение для \(\cos^2 \alpha\): \[ \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} \] </li> <li>Вычисляем \(\sin^2 \alpha\) с использованием основного тригонометрического тождества: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{5} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\sin^2 \alpha = \frac{1}{5}\)</p>