№14050

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(sin\alpha\), если \(ctg\alpha=-\frac{\sqrt{39}}{5}\) и \(\alpha\epsilon\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\)

Ответ

-0.625

Решение № 14048:

<ol> <li>Используем определение котангенса: \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) </li> <li>Подставляем значение \(\cot \alpha\): \(\cot \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{5}\) </li> <li>Находим тангенс: \(\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = -\frac{5}{\sqrt{39}}\) </li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) </li> <li>Выражаем \(\cos \alpha\) через \(\sin \alpha\) и \(\tan \alpha\): \(\cos \alpha = \sin \alpha \cdot \cot \alpha = \sin \alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{39}}{5}\right)\) </li> <li>Подставляем \(\cos \alpha\) в основное тождество: \(\sin^2 \alpha + \left(\sin \alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{39}}{5}\right)\right)^2 = 1\) </li> <li>Упрощаем выражение: \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \frac{39}{25} = 1\) </li> <li>Объединяем члены: \(\sin^2 \alpha \left(1 + \frac{39}{25}\right) = 1\) </li> <li>Упрощаем выражение в скобках: \(\sin^2 \alpha \left(\frac{25}{25} + \frac{39}{25}\right) = 1\) \(\sin^2 \alpha \left(\frac{64}{25}\right) = 1\) </li> <li>Решаем уравнение: \(\sin^2 \alpha = \frac{25}{64}\) </li> <li>Извлекаем корень: \(\sin \alpha = \pm \frac{5}{8}\) </li> <li>Учитываем, что \(\alpha \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)\), где синус отрицателен: \(\sin \alpha = -\frac{5}{8}\) </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(-\frac{5}{8}\)</p>