№14055

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: значение \(sin^{2}\alpha\), если\(sin2\alpha=\frac{3}{5}\)

Ответ

0.1

Решение № 14053:

<ol> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)</li> <li>Подставляем данное значение \(\sin 2\alpha = \frac{3}{5}\): \(\frac{3}{5} = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)</li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)</li> <li>Подставляем \(\cos^2 \alpha\) в уравнение: \(\frac{3}{5} = 2 \sin \alpha \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\)</li> <li>Возводим обе стороны уравнения в квадрат: \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = (2 \sin \alpha \sqrt{1 - \sin^2 \alpha})^2\)</li> <li>Упрощаем: \(\frac{9}{25} = 4 \sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)\)</li> <li>Вводим обозначение \(x = \sin^2 \alpha\): \(\frac{9}{25} = 4x(1 - x)\)</li> <li>Решаем квадратное уравнение: \(\frac{9}{25} = 4x - 4x^2\)</li> <li>Переписываем уравнение в стандартной форме: \(4x^2 - 4x + \frac{9}{25} = 0\)</li> <li>Решаем квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = \frac{9}{25}\): \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{9}{25}}}{8}\)</li> <li>Упрощаем подкоренное выражение: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - \frac{144}{25}}}{8}\)</li> <li>Упрощаем дальше: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{400 - 144}{25}}}{8}\)</li> <li>Упрощаем: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{256}{25}}}{8}\)</li> <li>Упрощаем: \(x = \frac{4 \pm \frac{16}{5}}{8}\)</li> <li>Рассчитываем два возможных значения: \(x = \frac{4 + \frac{16}{5}}{8} = \frac{4 \cdot 5 + 16}{5 \cdot 8} = \frac{20 + 16}{40} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}\)</li> \(x = \frac{4 - \frac{16}{5}}{8} = \frac{4 \cdot 5 - 16}{5 \cdot 8} = \frac{20 - 16}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}\)</li> <li>Таким образом, \(\sin^2 \alpha\) может быть либо \(\frac{9}{10}\), либо \(\frac{1}{10}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\sin^2 \alpha = \frac{9}{10}\) или \(\sin^2 \alpha = \frac{1}{10}\)</p>