№14057

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: значение \(sin^{2}\alpha\), если\(tg2\alpha=2\sqrt{2}; \alpha\epsilon\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)

Ответ

0.3333333333333333

Решение № 14055:

<ol> <li>Используем формулу для суммы квадратов синуса и косинуса: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)</li> <li>Выразим \(\sin^2 \alpha\) через \(\cos^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)</li> <li>Используем формулу для тангенса двойного угла: \(\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\)</li> <li>Подставим \(\tan 2\alpha = 2\sqrt{2}\): \(\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = 2\sqrt{2}\)</li> <li>Решим уравнение для \(\tan \alpha\): \(2 \tan \alpha = 2\sqrt{2}(1 - \tan^2 \alpha)\) \(\tan \alpha = \sqrt{2}(1 - \tan^2 \alpha)\)</li> <li>Решим квадратное уравнение: \(\tan^2 \alpha + \sqrt{2} \tan \alpha - \sqrt{2} = 0\)</li> <li>Найдем корни уравнения: \(\tan \alpha = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 8}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{10}}{2}\)</li> <li>Выберем положительный корень, так как \(\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{4}\right)\): \(\tan \alpha = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}\)</li> <li>Найдем \(\cos^2 \alpha\) через \(\tan \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}\)</li> <li>Подставим \(\tan \alpha\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left(\frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}\right)^2}\)</li> <li>Упростим выражение: \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \frac{2 - 2\sqrt{2}\sqrt{10} + 10}{4}} = \frac{1}{1 + \frac{12 - 2\sqrt{20}}{4}} = \frac{1}{1 + 3 - \sqrt{5}} = \frac{1}{4 - \sqrt{5}}\)</li> <li>Найдем \(\sin^2 \alpha\): \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4 - \sqrt{5}}\)</li> <li>Упростим выражение: \(\sin^2 \alpha = \frac{4 - \sqrt{5} - 1}{4 - \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}\)</li> <li>Умножим числитель и знаменатель на \(4 + \sqrt{5}\): \(\sin^2 \alpha = \frac{(3 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5})} = \frac{12 + 3\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5}{16 - 5} = \frac{7 - \sqrt{5}}{11}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\sin^2 \alpha = \frac{7 - \sqrt{5}}{11}\)</p>