№14076

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Значение \(cos\alpha=0,2\). Вычислить: значения выражений\(sin^{2}\left(\alpha-\frac{5\pi}{2}\right)+4cos^{2}\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)\)

Ответ

3.88

Решение № 14074:

Для решения задачи вычисления значения выражения \( \sin^2\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + 4\cos^2\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \) при \( \cos \alpha = 0.2 \), следуем пошаговым вычислениям: <ol> <li>Используем периодичность тригонометрических функций: \[ \sin\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \] \[ \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \] </li> <li>Применяем тригонометрические тождества: \[ \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \alpha \] \[ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \alpha \] </li> <li>Подставляем эти значения в исходное выражение: \[ \sin^2\left(\alpha - \frac{5\pi}{2}\right) + 4\cos^2\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) + 4\cos^2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) \] \[ = (-\cos \alpha)^2 + 4(-\sin \alpha)^2 \] \[ = \cos^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha \] </li> <li>Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ \cos^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + 4(1 - \cos^2 \alpha) \] \[ = \cos^2 \alpha + 4 - 4\cos^2 \alpha \] \[ = 4 - 3\cos^2 \alpha \] </li> <li>Подставляем значение \(\cos \alpha = 0.2\): \[ 4 - 3(0.2)^2 = 4 - 3(0.04) \] \[ = 4 - 0.12 \] \[ = 3.88 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(3.88\)</p>