№14062

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(\frac{sin22^{0}\cdot sin68^{0}}{2cos^{2}23^{0}-1}\)

Ответ

0.5

Решение № 14060:

<ol> <li>Используем формулу для произведения синусов: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos (22^{\circ} - 68^{\circ}) - \cos (22^{\circ} + 68^{\circ}))\)</li> <li>Вычисляем углы: \(22^{\circ} - 68^{\circ} = -46^{\circ}\) \(22^{\circ} + 68^{\circ} = 90^{\circ}\)</li> <li>Подставляем углы в формулу: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos (-46^{\circ}) - \cos 90^{\circ})\)</li> <li>Используем свойства косинуса: \(\cos (-46^{\circ}) = \cos 46^{\circ}\) \(\cos 90^{\circ} = 0\). Тогда: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} \cos 46^{\circ}\)</li> <li>Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 46^{\circ} = 2 \cos^2 23^{\circ} - 1\). Тогда: \(\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ} = \frac{1}{2} (2 \cos^2 23^{\circ} - 1)\)</li> <li>Подставляем в исходное выражение: \(\frac{\sin 22^{\circ} \cdot \sin 68^{\circ}}{2 \cos^2 23^{\circ} - 1} = \frac{\frac{1}{2} (2 \cos^2 23^{\circ} - 1)}{2 \cos^2 23^{\circ} - 1}\)</li> <li>Сокращаем дроби: \(\frac{\frac{1}{2} (2 \cos^2 23^{\circ} - 1)}{2 \cos^2 23^{\circ} - 1} = \frac{1}{2}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{1}{2}\)</p>