№14052

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Значение \(cos\alpha=0,2\). Вычислить: значения выражений\(cos\left(2\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\right)sin\left(\alpha+\frac{7\pi}{2}\right)\)

Ответ

-0.184

Решение № 14050:

Для решения задачи вычислим значение выражения \( \cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) \) при \(\cos\alpha = 0.2\). <ol> <li>Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)</li> <li>Подставляем \(x = \alpha + \frac{\pi}{2}\): \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(2\alpha + \pi)\)</li> <li>Используем свойство периодичности косинуса: \(\cos(2\alpha + \pi) = -\cos(2\alpha)\)</li> <li>Подставляем значение \(\cos(2\alpha)\): \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\)</li> <li>Подставляем \(\cos\alpha = 0.2\): \(\cos(2\alpha) = 2(0.2)^2 - 1 = 2 \cdot 0.04 - 1 = 0.08 - 1 = -0.92\)</li> <li>Таким образом: \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) = -\cos(2\alpha) = -(-0.92) = 0.92\)</li> <li>Теперь вычислим \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right)\): \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + 3\pi + \frac{\pi}{2}\right)\)</li> <li>Используем свойство периодичности синуса: \(\sin\left(\alpha + 3\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha + \pi + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\)</li> <li>Используем свойство синуса: \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)\)</li> <li>Подставляем \(\cos\alpha = 0.2\): \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = 0.2\)</li> <li>Таким образом: \(\sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = -0.2\)</li> <li>Подставляем в исходное выражение: \(\cos\left(2\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\alpha + \frac{7\pi}{2}\right) = 0.92 \cdot (-0.2) = -0.184\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(-0.184\)</p>