№14071

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(\frac{cos(2,9\pi)tg(2,4\pi)tg(1,1\pi)}{cos(0,9\pi)}\)

Ответ

1

Решение № 14069:

<ol> <li>Упростим аргументы тригонометрических функций, используя периодичность функций синуса и тангенса: <ul> <li>\(\cos(2.9\pi) = \cos(2\pi + 0.9\pi) = \cos(0.9\pi)\)</li> <li>\(\tan(2.4\pi) = \tan(2\pi + 0.4\pi) = \tan(0.4\pi)\)</li> <li>\(\tan(1.1\pi) = \tan(\pi + 0.1\pi) = \tan(0.1\pi)\)</li> </ul> </li> <li>Подставляем упрощённые аргументы в исходное выражение: \[\frac{\cos(0.9\pi) \tan(0.4\pi) \tan(0.1\pi)}{\cos(0.9\pi)}\] </li> <li>Сокращаем \(\cos(0.9\pi)\) в числителе и знаменателе: \[\tan(0.4\pi) \tan(0.1\pi)\] </li> <li>Используем значения тангенса для специальных углов: <ul> <li>\(\tan(0.4\pi) = \tan\left(\frac{2\pi}{5}\right)\)</li> <li>\(\tan(0.1\pi) = \tan\left(\frac{\pi}{10}\right)\)</li> </ul> </li> <li>Подставляем известные значения тангенса: <ul> <li>\(\tan\left(\frac{2\pi}{5}\right) \approx 1.376\)</li> <li>\(\tan\left(\frac{\pi}{10}\right) \approx 0.325\)</li> </ul> </li> <li>Вычисляем произведение: \[1.376 \times 0.325 \approx 0.447\] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\approx 0.447\)</p>