№14061

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(cos195^{0}cos105^{0}+sin105^{0}cos75^{0}\)

Ответ

0.5

Решение № 14059:

Для решения выражения \( \cos 195^\circ \cos 105^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ \) пошагово, выполним следующие действия: <ol> <li>Применим формулы уменьшения углов для тригонометрических функций: \[ \cos 195^\circ = \cos (180^\circ + 15^\circ) = -\cos 15^\circ \] \[ \cos 105^\circ = \cos (180^\circ - 75^\circ) = -\cos 75^\circ \] </li> <li>Подставим эти значения в исходное выражение: \[ \cos 195^\circ \cos 105^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ = (-\cos 15^\circ)(-\cos 75^\circ) + \sin 105^\circ \cos 75^\circ \] \[ = \cos 15^\circ \cos 75^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ \] </li> <li>Используем тождество для суммы углов синуса: \[ \sin (105^\circ + 75^\circ) = \sin 180^\circ = 0 \] </li> <li>Таким образом, выражение упрощается до: \[ \cos 15^\circ \cos 75^\circ + \sin 105^\circ \cos 75^\circ = 0 \] </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> 0</p>