№14060

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(sin(105^{0})cos(15^{0})+\frac{1}{2}sin(960^{0})\)

Ответ

0.5

Решение № 14058:

Для решения выражения \( \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \sin(960^{\circ}) \) выполним следующие шаги: ```html <ol> <li>Упростим \( \sin(960^{\circ}) \): <ul> <li>\( 960^{\circ} = 960^{\circ} - 2 \cdot 360^{\circ} = 960^{\circ} - 720^{\circ} = 240^{\circ} \)</li> <li>\( \sin(240^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin(60^{\circ}) \)</li> <li>\( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)</li> <li>\( \sin(240^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)</li> </ul> </li> <li>Подставим \( \sin(960^{\circ}) \) в выражение: <ul> <li>\( \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \sin(960^{\circ}) = \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)</li> <li>\( = \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4} \)</li> </ul> </li> <li>Упростим \( \sin(105^{\circ}) \): <ul> <li>\( 105^{\circ} = 90^{\circ} + 15^{\circ} \)</li> <li>\( \sin(105^{\circ}) = \sin(90^{\circ} + 15^{\circ}) = \cos(15^{\circ}) \)</li> </ul> </li> <li>Подставим \( \sin(105^{\circ}) \) в выражение: <ul> <li>\( \cos(15^{\circ}) \cos(15^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4} \)</li> <li>\( = \cos^2(15^{\circ}) - \frac{\sqrt{3}}{4} \)</li> </ul> </li> <li>Используем формулу для косинуса двойного угла: <ul> <li>\( \cos^2(15^{\circ}) = \frac{1 + \cos(30^{\circ})}{2} \)</li> <li>\( \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)</li> <li>\( \cos^2(15^{\circ}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \)</li> </ul> </li> <li>Подставим \( \cos^2(15^{\circ}) \) в выражение: <ul> <li>\( \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \)</li> <li>\( = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)</li> </ul> </li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(\frac{1}{2}\)</p> ``` Таким образом, решение задачи \( \sin(105^{\circ}) \cos(15^{\circ}) + \frac{1}{2} \sin(960^{\circ}) \) равно \(\frac{1}{2}\).