№14074

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(\frac{sin54^{0}}{cos63^{0}sin117^{0}}\)

Ответ

2

Решение № 14072:

Конечно, давайте решим задачу пошагово. <ol> <li>Используем тригонометрическое тождество для угла 117°: \(\sin 117^\circ = \sin (180^\circ - 63^\circ) = \sin 63^\circ\)</li> <li>Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\sin 54^\circ}{\cos 63^\circ \sin 117^\circ} = \frac{\sin 54^\circ}{\cos 63^\circ \sin 63^\circ}\)</li> <li>Используем тождество для угла 54°: \(\sin 54^\circ = \cos 36^\circ\)</li> <li>Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\cos 63^\circ \sin 63^\circ}\)</li> <li>Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 63^\circ = \cos (90^\circ - 63^\circ) = \cos 27^\circ\)</li> <li>Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\cos 63^\circ \cos 27^\circ}\)</li> <li>Используем тождество для двойного угла косинуса: \(\cos 63^\circ = \cos (90^\circ - 27^\circ) = \sin 27^\circ\)</li> <li>Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\sin 27^\circ \cos 27^\circ}\)</li> <li>Используем тождество для двойного угла синуса: \(\sin 27^\circ \cos 27^\circ = \frac{1}{2} \sin 54^\circ\)</li> <li>Подставляем это тождество в наше выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\frac{1}{2} \sin 54^\circ}\)</li> <li>Упрощаем выражение: \(\frac{\cos 36^\circ}{\frac{1}{2} \cos 36^\circ} = 2\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> 2</p>