№14047

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(ctg150^{0}\cdot tg240^{0}+sin(1260^{0})\)

Ответ

-3

Решение № 14045:

Для решения системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 2^{2y} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{y} = 7 \end{matrix} \right. \] выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем систему уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} 3^{x} - 2^{2y} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{y} = 7 \end{matrix} \right. \] </li> <li>Решим второе уравнение \(3^{\frac{x}{2}} - 2^{y} = 7\): \[ 3^{\frac{x}{2}} = 2^{y} + 7 \] </li> <li>Подставим \(3^{\frac{x}{2}} = 2^{y} + 7\) в первое уравнение: \[ 3^{x} - 2^{2y} = 77 \] </li> <li>Возведем обе части второго уравнения в квадрат: \[ (3^{\frac{x}{2}})^2 = (2^{y} + 7)^2 \] \[ 3^x = (2^{y} + 7)^2 \] </li> <li>Подставим \(3^x = (2^{y} + 7)^2\) в первое уравнение: \[ (2^{y} + 7)^2 - 2^{2y} = 77 \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим выражение: \[ (2^{y} + 7)^2 = 2^{2y} + 14 \cdot 2^{y} + 49 \] \[ 2^{2y} + 14 \cdot 2^{y} + 49 - 2^{2y} = 77 \] \[ 14 \cdot 2^{y} + 49 = 77 \] </li> <li>Решим уравнение \(14 \cdot 2^{y} + 49 = 77\): \[ 14 \cdot 2^{y} = 77 - 49 \] \[ 14 \cdot 2^{y} = 28 \] \[ 2^{y} = 2 \] \[ y = 1 \] </li> <li>Подставим \(y = 1\) во второе уравнение: \[ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{1} = 7 \] \[ 3^{\frac{x}{2}} = 9 \] \[ 3^{\frac{x}{2}} = 3^2 \] \[ \frac{x}{2} = 2 \] \[ x = 4 \] </li> <li>Проверим решение, подставив \(x = 4\) и \(y = 1\) в обе уравнения: \[ 3^{4} - 2^{2 \cdot 1} = 81 - 4 = 77 \] \[ 3^{\frac{4}{2}} - 2^{1} = 9 - 2 = 7 \] </li> <li>Таким образом, решение системы уравнений: \[ \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 1 \end{matrix} \right. \] </li> </ol> Ответ: \(x = 4\), \(y = 1\)