№14051

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(\frac{sin^{2}15^{0}\cdot sin75^{0}}{cos105^{0}}\)

Ответ

-0.25

Решение № 14049:

Для решения задачи \(\frac{\sin^2 15^\circ \cdot \sin 75^\circ}{\cos 105^\circ}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Используем тождество для синуса суммы углов: \(\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ)\)</li> <li>Применяем формулу суммы углов для синуса: \(\sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)</li> <li>Подставляем значения синусов и косинусов: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)</li> <li>Вычисляем \(\sin 75^\circ\): \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)</li> <li>Используем тождество для косинуса суммы углов: \(\cos 105^\circ = \cos (90^\circ + 15^\circ)\)</li> <li>Применяем формулу суммы углов для косинуса: \(\cos (90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ\)</li> <li>Подставляем значение синуса: \(\cos 105^\circ = -\sin 15^\circ\)</li> <li>Вычисляем \(\sin^2 15^\circ\): \(\sin^2 15^\circ = \left(\sin 15^\circ\right)^2\)</li> <li>Подставляем все значения в исходное выражение: \(\frac{\sin^2 15^\circ \cdot \sin 75^\circ}{\cos 105^\circ} = \frac{\left(\sin 15^\circ\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\sin 15^\circ}\)</li> <li>Упрощаем выражение: \(\frac{\left(\sin 15^\circ\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\sin 15^\circ} = -\frac{\sin 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sin 15^\circ\)</li> <li>Используем значение \(\sin 15^\circ\): \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)</li> <li>Подставляем \(\sin 15^\circ\) в выражение: \(\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}\)</li> <li>Упрощаем выражение: \(= -\frac{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{1} = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = -\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}\)</li> <li>Вычисляем произведение: \(= -\frac{6 - 2}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(-\frac{1}{4}\)</p>