№14070

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых тригонометрических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, Начала тригонометрии,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Вычислить: \(\frac{\sqrt{3}+tg\frac{11\pi}{12}}{1+\sqrt{3}tg\frac{\pi}{12}}\)

Ответ

1

Решение № 14068:

Для решения задачи \(\frac{\sqrt{3}+\operatorname{tg}\frac{11\pi}{12}}{1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Используем формулу для тангенса суммы углов: \(\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \operatorname{tg} b}\)</li> <li>Заметим, что \(\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}\). Тогда: \(\operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{12}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}\)</li> <li>Подставляем это в исходное выражение: \(\frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{12}\right)}{1 + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1 + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}\)</li> <li>Используем формулу тангенса угла \(\frac{\pi}{3}\): \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\). Тогда: \(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\)</li> <li>Так как \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1\), то: \(\frac{\sqrt{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1 + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}} = 1\)</li> </ol> <p><strong>Ответ:</strong> \(1\)</p>