Задачи

Фильтрация

Показать фильтрацию

По классам:

По предметам:

По подготовке:

По классам:

По авторам:

Число 26 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, если известно, что второе слагаемое больше первого в 3 раза

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {4;10;12}

Из городов \(A\) и \(B\) одновременно навстречу друг другу выезжает велосипедист и выходит пешеход. Скорость велосипедиста 25 км/ч, скорость пешехода \(x\) км/ч. После встречи они поворачивают назад и возвращаются каждый в свой город, причем велосипедист при этом движется с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч. Найти время нахождения в пути пешехода, если расстояние между городами \(s\) км. При каком значении \(х\) это время будет наибольшим?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(t=\frac{s(2x+1)}{(25+x)(x+1)}\); \(x_{max}=3\)

Из пункта \(A\) со скоростью \(v\) (км/ч) на прогулку вышел пешеход. Когда он отошел от \(A\) на 6 км, из \(A\) следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и вместе возвратились в \(A\) со скорость 4 км/ч. При каком значении \(v\) время прогулки пешехода окажется наименьшим?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6

Найти точку графика функции \(y=x^{2}+\frac{1}{2}\), ближайшую к точке \(A\left ( \frac{1}{4};1 \right )\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: <0,5;0,75>

Найти наименьшее расстояние от точки\(M (2;0)\) до точек графика функции \(y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}\). Ответ умножить на \(\sqrt{3}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

На координатной плоскости рассматривается прямоугольник \(ABCD\), у которого сторона \(AB\) лежит на оси координат, вершина \(C\) на параболе \(y=x^{2}-4x+3\), а вершина \(D\) - на параболе \(y=-x^{2}+2x-2\). При этом абсцисса вершины \(D\) принадлежит отрезку \(\left [ \frac{4}{5};\frac{3}{2} \right ]\). Какое значение должна иметь абсцисса вершины \(D\), чтобы площадь прямоугольника \(ABCD\) была наименьшей?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.8

Автомобиль движется из пункта \(A\) в пункт \(С\). От пункта \(A\) до пункта \(Б\), расположенного между \(A\) и \(С\), он идет со скоростью 48 км/ч. В пункте \(Б\) он уменьшает скорость на \(a\) (км/ч) \((0< a< 48)\) и с этой скоростью проезжает третью часть пути от \(Б\) до \(С\). Оставшуюся часть пути он едет со скоростью, которая на \(2a\) (км/ч) превышает начальную скорость. При каком значении \(a\) автомобиль быстрее всего пройдет путь от \(Б\) до \(С\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 12

По двум улицам к перекрестку движутся два автомобиля с постоянными скоростями \(v_{1}=40\) км/ч и \(v_{2}=50\) км/ч. Известно, что в некоторый момент времени автомобили находятся от перекрестка на расстоянии \(s_{1}=2\) км и \(s_{2}=3\) км соответственно. Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, определить, через какое время расстояние между автомобилями станет наименьшим.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 23/410

Расстояние между населенными пунктами \(A\) и \(Б\) составляет 36 км. Из \(A\) и \(Б\) идет пешеход со скоростью 6 км/ч. Одновременно из \(Б\) в сторону \(A\) выезжает велосипедист со скоростью \(v\) км/ч, причем \(v\in [10;15]\). После встречи с пешеходом велосипедист еще 20 мин ехал в сторону \(A\), затем повернул и возвратился в \(Б\) . Найти минимальную и максимальную разницу во времени прибытия в \(Б\) пешехода и велосипедиста.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {5/6;40/21}

Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью \(v\) км/ч, составляет \((90+0,4v^{2})\) руб. за 1ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость прохода 1 км пути была наименьшей?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 15

Точка \(А\) лежит на графике функции \(y=x^{2}-2x\), а точка \(B\) - на графике функции \(y=-x^{2}+14x-50\). Чему равно наименьшее значение длины отрезка \(АB\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2\sqrt{5}

К графику функции \(y=\frac{1}{x^{2}}\) в точке, абсцисса \(\alpha \) которой принадлежит отрезку \([5;9]\) проведена касательная.Какова наибольшая площадь \(S\) треугольника, ограниченного этой касательной, осью абсцисс и прямой \( x=4\), является наибольшей?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.125

Представить число 18 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного куба одного из них и удевятеренного квадрата другого была наименьшей

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {6;12}

Число 18 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {9;9}

Число 36 представить в виде произведения двух сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6*6

Турист идет из пункта \(A\), находящегося на шоссе, в пункт \(Б\), расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от \(A\) до \(Б\) по прямой равно 17 км. На каком расстоянии от \(A\) туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт \(Б\), если скорость туриста по шоссе равна 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: В 9 км от \(А\)

Одна и та же резина на передних колесах автомобиля выходит из строя через 24000 км пробега, а задних - через 36000 км. Каково максимальное расстояние, которое автомобиль может пройти на этой резине, если передние и задние колеса можно менять местами?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 28800

Точка \(M\) лежит на прямой \(y=1-x\), а точка \(N\) - на параболе \(y=x^{2}-5x+6\). Чему равно наименьшее значение длины отрезка \(MN\)? Ответ умножить на \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.5

Точка \(А\) лежит на графике функции \(y=\frac{1}{8}(x^{2}-12x)\), а точка \(B\) - на кривой \(x^{2}+y^{2}-18x-12y+97=0\). Чему равно наименьшее значение длины отрезка \(АB\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \frac{\sqrt{5}}{2}

На координатной плоскости заданы точки \(M(3;0)\) и \(N(5;2)\). При каких значениях \(a\) точка \(M\) среди всех точек отрезка \([M,N]\) является ближайшей к графику функции \(y=ax^{2}\)?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: (-\infty ;0]\cup \left [ \frac{1}{4};+\infty \right )

К графику функции \(y=\frac{1}{x^{2}}\) в точке, абсцисса \(\alpha \) которой принадлежит отрезку \([5;9]\) проведена касательная. При каком значении \(\alpha \) площадь \(S\) треугольника, ограниченного этой касательной, осью абсцисс и прямой \( x=4\), является наибольшей?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 8

На координатной плоскости рассматривается треугольник \(ABC\), у которого вершина \(A\) совпадает с началом координат, вершина \(B\) лежит на параболе \(y=3x^{2}-10x+2\), а вершина \(С\) - на параболе \(y=-2x^{2}+5x-10\). При этом сторона \(BC\) треугольника параллельна оси ординат, а абсцисса вершины \(B\) принадлежит отрезку \(\left [ \frac{3}{5};\frac{3}{2} \right ]\). Какое значение должна иметь абсцисса вершины \(B\), чтобы площадь треугольника \(ABC\) была наибольшей?

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 0.6

Подрядчику выделили 30 тысяч рублей на уборку микрорайона к приезду губернатора. Из этих денег нужно выдать 2000 рублей бригадиру и по 450 рублей зарплаты каждому рабочему. Какую наибольшую сумму может потратить подрядчик на зарплату?

Решение №35795: Зарплата \(x\) рабочих и бригадира равна \(f(x)=2000+450x\). По условию \(f(x)\leq 30000\), то есть \(x\leq 62\frac{2}{9}\). Линейная функция \(y=2000+450x\) — возрастающая, поэтому своё наибольшее значение она принимает на правом конце промежутка. Но по условию \(x\) — число натуральное, поэтому наибольшее значение будет при \(x=62\), при этом наибольшее значение будет равно \(f(62)=29900\). Подрядчик может потратить на зарплату не более 29900 рублей. Ответ: 29900 рублей.

Ответ: 29900

Зависимость объёма спроса \(q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \(p\) (тыс. руб.) задаётся формулой \(q=450-3p\). Выручка предприятия за месяц \(r\) (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p)=q\cdot p\). Определите наименьшую цену, при которой месячная выручка \(r(p)\) составит не менее 10800 тыс. руб. Ответ приведите в тысячах рублей.

Решение №35796: Согласно условию должно выполняться неравенство \(pq\geq 10800\), то есть \((450-3p)p\geq 10800\). Сократив обе части неравенства на 3 и раскрыв скобки, получим: \(150p-p^{2}\geq 3600\); \(p^{2}-150p+3600\leq 0\). Найдём корни уравнения \(p^{2}-150p+3600=0\): \(p_{1, 2}=\frac{150\pm \sqrt{22500-14400}}{2}=\frac{150\pm \sqrt{8100}}{2}=\frac{150\pm 90}{2}\). Неравенство примет вид \(p_{1}=30\), \(p_{2}=120\). Решением рассматриваемого неравенства (см. рис. ниже) будет отрезок \([30; 120]\), и потому наименьшее подходящее значение \(p\) равно 30. Ответ: 30.

Ответ: 30

Зависимость объёма спроса \(q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \(p\) (тыс. руб.) задаётся формулой \(q=280-2p\). Выручка предприятия за месяц \(r\) (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p)=qp\). Определите цену, при которой месячная выручка \(r(p)\) будет наибольшей. Найдите наибольшую возможную выручку.

Решение №35797: По условию выручка за месяц равна \(r=qp=(280-2p)p\). Графиком квадратичной функции \(r=-2p^{2}+280p\) является парабола, направленная ветвями вниз. Следовательно, эта функция принимает наибольшее значение в точке \(p=\frac{-280}{2\cdot (-2)}=70\). При цене 70 тыс. рублей месячная выручка \(r(p)\) будет равна \(r(70)=-2\cdot 70^{2}+280\cdot 70=9800\) (тыс. рублей). Ответ: 70 тыс. рублей, 9800 тыс. рублей.

Ответ: 70; 9800

Индивидуальный предприниматель за 288 тысяч рублей приобрёл цех по производству носков. Затраты на изготовление \(x\) тысяч пар носков в месяц составляют \((x^{2}+6x+7)\) тысяч рублей. Если продавать одну пару носков по \(c\) рублей, то прибыль от продажи \(x\) тысяч пар носков в месяц составит \(cx-(x^{2}+6x+7)\) тысяч рублей \((c>6)\). Предприниматель имеет возможность изготавливать и продавать такое количество пар носков, которое обеспечивает наибольшую прибыль. При каком наименьшем значении \(c\) предприниматель окупит затраты на покупку цеха не более чем за 32 месяца?

Решение №35798: По условию прибыль \(P(x)\) от продажи \(x\) тысяч пар носков в месяц находится по формуле \(P(x)=cx-(x^{2}+6x+7)=-x^{2}+(c-6)x-7\). Наибольшее значение квадратичная функция принимает при \(x=\frac{c-6}{2}\). \(P\left (\frac{c-6}{2}\right )=-\left (\frac{c-6}{2}\right )^{2}+(c-6)\frac{c-6}{2}-7=\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\). Так как надо окупить затраты не более чем за 32 месяца, то \(32\left (\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\right ) \geq 288\), \(\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\geq 9\), \((c-6)^{2}\geq 64\). Так как \(c-6>0\), то \(c-6\geq 8\), \(c\geq 14\). Наименьшее значение \(c\) равно 14. Ответ: 14.

Ответ: 14

Кондитерский цех на одном и том же оборудовании производит печенье двух видов. Используя всё оборудование, за день можно произвести 60 центнеров печенья первого вида или 85 центнеров печенья второго вида. Ниже приведены себестоимость и отпускная цена одного центнера печенья в рублях (см. рис. ниже). Найдите, какую наибольшую прибыль (в рублях) может получить этот цех за день при условии, что будет использоваться всё оборудование, будет продано всё произведённое печенье и по договору с заказчиком должно производиться в день не менее 6 центнеров печенья каждого вида.

Решение №35799: 1. По условию на производство одного центнера печенья первого вида в день потребуется \(\frac{1}{60}\) часть мощности всего оборудования, а на производство одного центнера печенья второго вида в день потребуется \(\frac{1}{60}\) часть мощности всего оборудования. 2. Пусть за день производится \(x\) центнеров печенья первого вида, и \(y\) центнеров — второго вида. Так как по условию используется всё оборудование, то \(\frac{x}{60}+\frac{y}{85}=1\). Отсюда \(17x+12y=1020\), \(x= \frac{1020-12y}{17}\). По условию \(x\geq 6\), поэтому \(\frac{1020-12y}{17}\geq 6\), \(y\leq \frac{918}{12}=\frac{153}{2}\). 3. Прибыль предприятия за день составляет \(5000x+6000y\). Выразим её через \(y\): \(5000x+6000y=5000\cdot \frac{1020-12y}{17}+6000y=300000+\frac{42000y}{17}=S(y)\). \(S(y)\) — линейная возрастающая функция, поэтому принимает наибольшее значение при наибольшем значении \(y\), равном \(\frac{153}{2}\). \(S\left (\frac{153}{2}\right )=300000+\frac{42000}{17}\cdot \frac{153}{2}=300000+21000\cdot 9=489000\). Ответ: 489000.

Ответ: 489000

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день и добывать либо только алюминий, либо только никель. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 192 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день и добывать либо только алюминий, либо только никель. При этом один рабочий за час добывает 1,5 кг алюминия или 0,5 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение №35800: Пусть \(a\) и \(b\) соответственно — число рабочих первой и второй шахт, которые добывают алюминий. Тогда первая шахта добывает в день \(a\cdot 5\cdot 2\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(6\cdot 5\cdot 1,5\) кг алюминия и \((192-b)\cdot 5\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(a\cdot 5\cdot 2+b\cdot 5\cdot 1,5=10a+7,5b\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3+(192-b)\cdot 5\cdot 0,5=1980-15a-2,5b\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(10a+7,5b=2\cdot (1980-15a-2,5b)\), \(10a+7,5b=3960-30a-5b\), \(40a=3960-12,5b\), \(a=99-\frac{5}{16}b\). 3. Выразим через \(b\) массу алюминия, поступившего на завод: \(10a+7,5b=990-3,125b+7,5b=990+4,375b=f(b)\. \(f(b)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(b\), равном 192. \(f(192)=990+4,375\cdot 192=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.

Ответ: 2745

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 192 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1,5 кг алюминия или 0,5 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение №35801: Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(500-x\) и \(960-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Первая шахта добывает в день \(2x\) кг алюминия и \((500-x)\cdot З\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(1,5y\) кг алюминия и \((960-y)\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(2x+1,5y\) кг алюминия и \((500-x)\cdot 3+(960-y)\cdot 0,5\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(2x+1,5y=2\cdot ((500-x)\cdot 3+(960-y)\cdot 0,5)\), \(2x+1,5y=3960-6x-y\), \(8x=3960-2,5y\), \(x=495-\frac{5}{16}y\). 3. Выразим через \(y\) массу алюминия, поступившего на завод: \(2x+1,5y=990-\frac{5}{8}y+\frac{12}{8}y=990+0,875y=f(y)\). \(f(y)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(y\), равном 960. \(f(960)=990+0,875\cdot 960=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.

Ответ: 2745

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 162 рабочих, каждый из которых готов трудиться 9 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 4 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте трудится 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 9 часов в день, и для получения \(x\) кг алюминия надо трудиться \(x^{2}\) часов, а для получения \(y\) кг никеля надо трудиться \(y^{2}\) часов. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Найдите наибольшее количества сплава, который может произвести завод за день при таких условиях.

Решение №35802: Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(1458-x\) и \(900-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Тогда первая шахта добывает \(4x\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(\sqrt{y}\) кг алюминия и \(\sqrt{900-y}\) кг никеля. А обе шахты добывают в день \(4x+\sqrt{y}\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y}\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 3 к 2. Поэтому \(2(4x+\sqrt{y})=3((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y})\), \(8x+2\sqrt{y}=13122-9x+3\sqrt{900-y}\), \(x=\frac{13122-2\sqrt{y}+3\sqrt{900-y}}{17}\) 3. Выразим через у массу алюминия, поступившего на завод: \(4x+\sqrt{y}=\frac{52488-8\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}+17\sqrt{y}}{17}=\frac{52488+9\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}}{17}=f(y)\). Найдём наибольшее значение \(f(y)\) с помощью производной. \(f'(y)=\frac{\frac{9}{2\sqrt{y}}-\frac{12}{\sqrt{900-y}}}{17\) \(f'(y)=0\), если \(\frac{3}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt{900-y}}\), \(y=324\). \(f'(y)>0\) при \(y<324\) и \(f'(y)<0\) при \(y>324\), поэтому \(f(324)\) — наибольшее значение функции. \(f(324)=\frac{52488+162+288}{17}=3114\). Масса сплава равна \(\frac{5}{3}f(324)=5190) кг. Ответ: 5190 кг

Ответ: 5190