Решение №3665: Для решения уравнения \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \]
2. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x - 1 = 2 \]
3. Решим уравнение \(x - 1 = 2\): \[ x = 2 + 1 \]
4. Упростим выражение: \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3666: Для решения уравнения \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \frac{1}{3}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \frac{1}{3} \]
2. Представим число \(\frac{1}{3}\) в виде степени с основанием \(\frac{1}{3}\): \[ \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1 \]
3. Подставим \(\left(\frac{1}{3}\right)^1\) вместо \(\frac{1}{3}\) в уравнение: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{3}\right)^1 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x + 1 = 1 \]
5. Решим уравнение \(x + 1 = 1\): \[ x = 0 \]

Ответ: 0

Решение №3667: Для решения уравнения \(2^{2x+1} = 32\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{2x+1} = 32 \]
2. Представим число 32 в виде степени с основанием 2: \[ 32 = 2^5 \]
3. Подставим \(2^5\) вместо 32 в уравнение: \[ 2^{2x+1} = 2^5 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2x + 1 = 5 \]
5. Решим уравнение \(2x + 1 = 5\): \[ 2x + 1 = 5 \] \[ 2x = 5 - 1 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = \frac{4}{2} \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3668: Для решения уравнения \(10^{2x-1} = 1000\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 10^{2x-1} = 1000 \]
2. Представим число 1000 в виде степени с основанием 10: \[ 1000 = 10^3 \]
3. Подставим \(10^3\) вместо 1000 в уравнение: \[ 10^{2x-1} = 10^3 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2x - 1 = 3 \]
5. Решим уравнение относительно \(x\): \[ 2x - 1 = 3 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3675: Для решения уравнения \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=1,5\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} = 1,5 \]
2. Перепишем число 1,5 в виде дроби: \[ 1,5 = \frac{3}{2} \]
3. Подставим \(\frac{3}{2}\) вместо 1,5 в уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \frac{3}{2} \]
4. Представим \(\frac{3}{2}\) в виде степени с основанием \(\frac{2}{3}\): \[ \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \]
5. Подставим \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\) вместо \(\frac{3}{2}\) в уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \]
6. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3679: Для решения уравнения \(2^{x} - 2 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x} - 2 = 0 \]
2. Прибавим 2 к обеим частям уравнения: \[ 2^{x} = 2 \]
3. Представим число 2 в виде степени с основанием 2: \[ 2 = 2^1 \]
4. Подставим \(2^1\) вместо 2 в уравнение: \[ 2^{x} = 2^1 \]
5. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3691: Для решения уравнения \(2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493 \]
2. Выразим \(3^{x+3}\) и \(3^{x-2}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x \] \[ 3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 2 \cdot (27 \cdot 3^x) + 7 \cdot \left(\frac{3^x}{9}\right) = 493 \]
4. Упростим выражение: \[ 54 \cdot 3^x + \frac{7}{9} \cdot 3^x = 493 \]
5. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x \left(54 + \frac{7}{9}\right) = 493 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 54 + \frac{7}{9} = 54 + 0.777\ldots = 54 + \frac{7}{9} = \frac{486}{9} + \frac{7}{9} = \frac{493}{9} \]
7. Подставим упрощенное выражение: \[ 3^x \cdot \frac{493}{9} = 493 \]
8. Разделим обе части уравнения на \(\frac{493}{9}\): \[ 3^x = 9 \]
9. Решим уравнение \(3^x = 9\): Поскольку \(3^2 = 9\), получаем: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3692: Решим уравнение \(2 + 3^{x-2} = 3^{x-1}\) пошагово:

1. Запишем уравнение: \[ 2 + 3^{x-2} = 3^{x-1} \]
2. Выразим \(3^{x-1}\) через \(3^{x-2}\): \[ 3^{x-1} = 3 \cdot 3^{x-2} \]
3. Подставим \(3^{x-1}\) в уравнение: \[ 2 + 3^{x-2} = 3 \cdot 3^{x-2} \]
4. Перенесем \(3^{x-2}\) в правую часть уравнения: \[ 2 = 3 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-2} \]
5. Вынесем общий множитель \(3^{x-2}\): \[ 2 = 3^{x-2} (3 - 1) \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 2 = 3^{x-2} \cdot 2 \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ 1 = 3^{x-2} \]
8. Решим уравнение \(3^{x-2} = 1\): Поскольку \(3^0 = 1\), получаем: \[ x - 2 = 0 \]
9. Прибавим 2 к обеим частям уравнения: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3693: Для решения уравнения \(3^{x+1} + 3^x = 108\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3^{x+1} + 3^x = 108 \]
2. Выразим \(3^{x+1}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \]
3. Подставим \(3^{x+1}\) в уравнение: \[ 3 \cdot 3^x + 3^x = 108 \]
4. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x (3 + 1) = 108 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 3^x \cdot 4 = 108 \]
6. Разделим обе части уравнения на 4: \[ 3^x = \frac{108}{4} \]
7. Упростим правую часть уравнения: \[ 3^x = 27 \]
8. Представим число 27 в виде степени с основанием 3: \[ 27 = 3^3 \]
9. Подставим \(3^3\) вместо 27 в уравнение: \[ 3^x = 3^3 \]
10. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3694: Для решения уравнения \(2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} = 12\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} = 12 \]
2. Выразим \(3^{x+1}\) и \(3^{x-1}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \] \[ 3^{x-1} = \frac{3^x}{3} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 6 \cdot \left(\frac{3^x}{3}\right) = 12 \]
4. Упростим выражение: \[ 2 \cdot 3 \cdot 3^x - 6 \cdot \frac{3^x}{3} = 12 \] \[ 6 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x = 12 \]
5. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x (6 - 2) = 12 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 3^x \cdot 4 = 12 \]
7. Разделим обе части уравнения на 4: \[ 3^x = 3 \]
8. Решим уравнение \(3^x = 3\): Поскольку \(3^1 = 3\), получаем: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3705: Для решения уравнения \(2^{x} \cdot 3^{x} = 6\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x} \cdot 3^{x} = 6 \]
2. Используем свойство степеней, объединяя одноименные множители: \[ (2 \cdot 3)^{x} = 6 \]
3. Упростим выражение в скобках: \[ 6^{x} = 6 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3706: Для решения уравнения \(5^{x} \cdot 4^{x} = 400\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{x} \cdot 4^{x} = 400 \]
2. Выразим \(4^x\) через степень с основанием 2: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \]
3. Подставим \(2^{2x}\) в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{2x} = 400 \]
4. Представим 400 в виде произведения степеней с основаниями 5 и 2: \[ 400 = 5^2 \cdot 2^4 \]
5. Подставим \(5^2 \cdot 2^4\) в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{2x} = 5^2 \cdot 2^4 \]
6. Приравняем показатели степеней для каждого основания: \[ 5^x = 5^2 \quad \text{и} \quad 2^{2x} = 2^4 \]
7. Решим уравнение для основания 5: \[ x = 2 \]
8. Решим уравнение для основания 2: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3716: Для решения уравнения \((0,8)^{3-2x} = (1,25)^{3}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (0,8)^{3-2x} = (1,25)^{3} \]
2. Представим числа 0,8 и 1,25 в виде степеней с основанием 2: \[ 0,8 = \frac{4}{5} = 0.8 = \left(\frac{2}{5}\right)^1 \] \[ 1,25 = \frac{5}{4} = 1.25 = \left(\frac{5}{4}\right)^1 \]
3. Перепишем уравнение с использованием этих представлений: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3} \]
4. Применим свойства степеней: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3} \] \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2x} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3} \]
5. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 3 - 2x = -3 \]
6. Решим уравнение: \[ 3 - 2x = -3 \] \[ 3 + 3 = 2x \] \[ 6 = 2x \] \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3718: Для решения уравнения \(\sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5 \]
2. Представим корни в виде степеней: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} = 5^{\frac{x-1}{3}}, \quad \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 5^{\frac{x-1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5 \]
4. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 5^{\frac{x-1}{3} + \frac{1}{2}} = 5 \]
5. Приравняем показатели степеней: \[ \frac{x-1}{3} + \frac{1}{2} = 1 \]
6. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2(x-1)}{6} + \frac{3}{6} = 1 \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{2(x-1) + 3}{6} = 1 \]
8. Умножим обе части уравнения на 6: \[ 2(x-1) + 3 = 6 \]
9. Раскроем скобки и упростим: \[ 2x - 2 + 3 = 6 \]
10. Сложим и вычтем числа: \[ 2x + 1 = 6 \]
11. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \[ 2x = 5 \]
12. Разделим обе части уравнения на 2: \[ x = \frac{5}{2} \]

Ответ: 2.5

Решение №3719: Для решения уравнения \(\sqrt[9]{4^{2x+1}} \cdot \sqrt[5]{2} = 2\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \sqrt[9]{4^{2x+1}} \cdot \sqrt[5]{2} = 2 \]
2. Представим корни в виде степеней: \[ \sqrt[9]{4^{2x+1}} = (4^{2x+1})^{1/9} = 4^{(2x+1)/9} \] \[ \sqrt[5]{2} = 2^{1/5} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 4^{(2x+1)/9} \cdot 2^{1/5} = 2 \]
4. Выразим \(4\) через \(2\): \[ 4 = 2^2 \] \[ 4^{(2x+1)/9} = (2^2)^{(2x+1)/9} = 2^{2(2x+1)/9} \]
5. Подставим \(2^{2(2x+1)/9}\) вместо \(4^{(2x+1)/9}\) в уравнение: \[ 2^{2(2x+1)/9} \cdot 2^{1/5} = 2 \]
6. Объединим показатели степеней: \[ 2^{2(2x+1)/9 + 1/5} = 2 \]
7. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{2(2x+1)}{9} + \frac{1}{5} = 1 \]
8. Найдем общее знаменатель для дробей: \[ \frac{2(2x+1)}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10(2x+1) + 9}{45} \] \[ \frac{10(2x+1) + 9}{45} = 1 \]
9. Умножим обе части уравнения на 45: \[ 10(2x+1) + 9 = 45 \]
10. Решим уравнение: \[ 10(2x+1) + 9 = 45 \] \[ 10(2x+1) = 36 \] \[ 2x + 1 = 3.6 \] \[ 2x = 2.6 \] \[ x = 1.3 \]

Ответ: 1.3

Решение №3721: Для решения уравнения \(\sqrt[4]{81^{x-3}} \cdot \sqrt{3} = 9\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \sqrt[4]{81^{x-3}} \cdot \sqrt{3} = 9 \]
2. Представим числа 81 и 3 в виде степеней с основанием 3: \[ 81 = 3^4 \quad \text{и} \quad 3 = 3^1 \]
3. Подставим \(81 = 3^4\) и \(3 = 3^1\) в уравнение: \[ \sqrt[4]{(3^4)^{x-3}} \cdot \sqrt{3^1} = 9 \]
4. Раскроем степени: \[ \sqrt[4]{3^{4(x-3)}} \cdot 3^{1/2} = 9 \]
5. Упростим корни, используя свойства степеней: \[ 3^{x-3} \cdot 3^{1/2} = 9 \]
6. Представим число 9 в виде степени с основанием 3: \[ 9 = 3^2 \]
7. Подставим \(9 = 3^2\) в уравнение: \[ 3^{x-3} \cdot 3^{1/2} = 3^2 \]
8. Объединим показатели степеней: \[ 3^{x-3 + 1/2} = 3^2 \]
9. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x - 3 + \frac{1}{2} = 2 \]
10. Решим уравнение: \[ x - 3 + \frac{1}{2} = 2 \] \[ x - 2.5 = 2 \] \[ x = 4.5 \]

Ответ: 4.5

Решение №3728: Для решения уравнения \(4^{x+2} + 4^{x} + 2^{x+1} = 84\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x+2} + 4^{x} + 2^{x+1} = 84 \]
2. Выразим \(4^{x+2}\) и \(2^{x+1}\) через \(4^x\): \[ 4^{x+2} = 4^2 \cdot 4^x = 16 \cdot 4^x \] \[ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 16 \cdot 4^x + 4^x + 2 \cdot 2^x = 84 \]
4. Вынесем общий множитель \(4^x\) и \(2^x\): \[ 4^x (16 + 1) + 2^x \cdot 2 = 84 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 4^x \cdot 17 + 2^x \cdot 2 = 84 \]
6. Выразим \(4^x\) через \(2^x\): \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] Подставим это в уравнение: \[ 2^{2x} \cdot 17 + 2^x \cdot 2 = 84 \]
7. Подставим \(y = 2^x\): \[ y^2 \cdot 17 + y \cdot 2 = 84 \]
8. Получим квадратное уравнение: \[ 17y^2 + 2y - 84 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 17\), \(b = 2\), \(c = -84\): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-84)}}{2 \cdot 17} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 5616}}{34} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{5620}}{34} \] \[ y = \frac{-2 \pm 75}{34} \]
10. Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{-2 + 75}{34} = \frac{73}{34} \] \[ y_2 = \frac{-2 - 75}{34} = \frac{-77}{34} \]
11. Подставим \(y = 2^x\) обратно: \[ 2^x = \frac{73}{34} \quad \text{(отбросим, так как это не степень двойки)} \] \[ 2^x = \frac{-77}{34} \quad \text{(отбросим, так как это не степень двойки и отрицательное число)} \]
12. Таким образом, решения нет.

Ответ: 1

Решение №3731: Для решения уравнения \(4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300 \]
2. Выразим \(4^{x+1}\) и \(4^{x-2}\) через \(4^x\): \[ 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x \] \[ 4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16} \]
3. Подставим \(4^{x+1}\) и \(4^{x-2}\) в уравнение: \[ 4 \cdot 4^x + 11 \cdot \frac{4^x}{16} = 300 \]
4. Вынесем общий множитель \(4^x\): \[ 4^x \left(4 + \frac{11}{16}\right) = 300 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 4 + \frac{11}{16} = \frac{64}{16} + \frac{11}{16} = \frac{75}{16} \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 4^x \cdot \frac{75}{16} = 300 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(\frac{16}{75}\): \[ 4^x = 300 \cdot \frac{16}{75} \]
7. Вычислим произведение: \[ 300 \cdot \frac{16}{75} = 300 \cdot \frac{16}{75} = 64 \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 4^x = 64 \]
8. Представим число 64 в виде степени с основанием 4: \[ 64 = 4^3 \]
9. Подставим \(4^3\) вместо 64 в уравнение: \[ 4^x = 4^3 \]
10. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3733: Для решения уравнения \(3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315 \]
2. Выразим \(3^{2x-1}\) через \(3^{2x-2}\): \[ 3^{2x-1} = 3 \cdot 3^{2x-2} \]
3. Выразим \(3^{2x-4}\) через \(3^{2x-2}\): \[ 3^{2x-4} = \frac{3^{2x-2}}{3^2} = \frac{3^{2x-2}}{9} \]
4. Подставим выражения \(3^{2x-1}\) и \(3^{2x-4}\) в уравнение: \[ 3 \cdot 3^{2x-2} + 3^{2x-2} - \frac{3^{2x-2}}{9} = 315 \]
5. Вынесем общий множитель \(3^{2x-2}\): \[ 3^{2x-2} \left(3 + 1 - \frac{1}{9}\right) = 315 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 3^{2x-2} \left(4 - \frac{1}{9}\right) = 315 \]
7. Преобразуем выражение в скобках в общую дробь: \[ 4 - \frac{1}{9} = \frac{36}{9} - \frac{1}{9} = \frac{35}{9} \]
8. Подставим выражение в уравнение: \[ 3^{2x-2} \cdot \frac{35}{9} = 315 \]
9. Умножим обе части уравнения на 9: \[ 3^{2x-2} \cdot 35 = 315 \cdot 9 \]
10. Вычислим произведение: \[ 3^{2x-2} \cdot 35 = 2835 \]
11. Разделим обе части уравнения на 35: \[ 3^{2x-2} = \frac{2835}{35} \]
12. Вычислим деление: \[ 3^{2x-2} = 81 \]
13. Представим число 81 в виде степени с основанием 3: \[ 81 = 3^4 \]
14. Подставим \(3^4\) вместо 81 в уравнение: \[ 3^{2x-2} = 3^4 \]
15. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2x - 2 = 4 \]
16. Решим уравнение: \[ 2x - 2 = 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3736: Для решения уравнения \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x+1}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2x+5}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2x+5} \]
2. Применим свойство степеней для обратных чисел: \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{2x+5} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-(2x+5)} \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-(2x+5)} \]
3. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x + 1 = -(2x + 5) \]
4. Раскроем скобки и решим уравнение: \[ x + 1 = -2x - 5 \]
5. Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону уравнения: \[ x + 2x = -5 - 1 \]
6. Упростим уравнение: \[ 3x = -6 \]
7. Решим уравнение относительно \(x\): \[ x = \frac{-6}{3} = -2 \]

Ответ: -2

Решение №3740: Для решения уравнения \(3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9} \]
2. Представим число \(\frac{1}{9}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \]
3. Подставим \(3^{-2}\) вместо \(\frac{1}{9}\) в уравнение: \[ 3^{\frac{2-x}{x-5}} = 3^{-2} \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{2-x}{x-5} = -2 \]
5. Решим уравнение \(\frac{2-x}{x-5} = -2\):
   1. Умножим обе части уравнения на \(x-5\): \[ 2 - x = -2(x - 5) \]
   2. Раскроем скобки: \[ 2 - x = -2x + 10 \]
   3. Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону уравнения: \[ 2 - x + 2x = 10 \]
   4. Упростим уравнение: \[ x = 8 \]
6. Проверим решение \(x = 8\) на соответствие области допустимых значений (ОДЗ): \[ x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5 \] Поскольку \(x = 8\) не равен 5, решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8

Решение №3743: Для решения уравнения \(\left|\sqrt{7}\right|^{x+2} : 3^{x+2} = \frac{7}{9}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left|\sqrt{7}\right|^{x+2} : 3^{x+2} = \frac{7}{9} \]
2. Упростим выражение \(\left|\sqrt{7}\right|^{x+2}\): \[ \left|\sqrt{7}\right| = 7^{1/2} \] Таким образом, \[ \left(7^{1/2}\right)^{x+2} = 7^{(x+2)/2} \]
3. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ 7^{(x+2)/2} : 3^{x+2} = \frac{7}{9} \]
4. Представим деление как дробь: \[ \frac{7^{(x+2)/2}}{3^{x+2}} = \frac{7}{9} \]
5. Используем свойство степеней: \[ \left(\frac{7^{1/2}}{3}\right)^{x+2} = \frac{7}{9} \]
6. Представим \(\frac{7}{9}\) в виде степени: \[ \frac{7}{9} = \left(\frac{7^{1/2}}{3}\right)^2 \]
7. Приравняем показатели степеней: \[ x+2 = 2 \]
8. Решим уравнение: \[ x + 2 = 2 \implies x = 0 \]

Ответ: 0

Решение №3746: Для решения уравнения \(4^{4(x+1)} = \sqrt[5]{16^{x+100}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 4^{4(x+1)} = \sqrt[5]{16^{x+100}} \]
2. Представим число 16 в виде степени с основанием 4: \[ 16 = 4^2 \]
3. Подставим \(4^2\) вместо 16 в уравнение: \[ \sqrt[5]{16^{x+100}} = \sqrt[5]{(4^2)^{x+100}} \]
4. Применим свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\): \[ \sqrt[5]{(4^2)^{x+100}} = \sqrt[5]{4^{2(x+100)}} \]
5. Вычислим корень пятой степени: \[ \sqrt[5]{4^{2(x+100)}} = 4^{\frac{2(x+100)}{5}} \]
6. Теперь уравнение имеет вид: \[ 4^{4(x+1)} = 4^{\frac{2(x+100)}{5}} \]
7. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 4(x+1) = \frac{2(x+100)}{5} \]
8. Решим уравнение: \[ 4(x+1) = \frac{2(x+100)}{5} \] Умножим обе части уравнения на 5: \[ 20(x+1) = 2(x+100) \]
9. Раскроем скобки: \[ 20x + 20 = 2x + 200 \]
10. Перенесем все \(x\) на одну сторону уравнения: \[ 20x - 2x = 200 - 20 \]
11. Упростим уравнение: \[ 18x = 180 \]
12. Разделим обе части уравнения на 18: \[ x = 10 \]

Ответ: 10

Решение №3748: Для решения уравнения \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \frac{16}{45}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \frac{16}{45} \]
2. Представим \(\frac{16}{45}\) в виде произведения степеней: \[ \frac{16}{45} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
3. Подставим \(\left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\) вместо \(\frac{16}{45}\) в уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
4. Представим \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}\) через произведение степеней: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} = \left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} \]
5. Подставим \(\left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\) вместо \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}\) в уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
7. Объединим степени с одинаковыми основаниями: \[ \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
8. Упростим выражение в скобках: \[ \left(\frac{4}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
9. Упростим \(\left(\frac{4}{6}\right)^x\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
10. Представим \(\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\) через степень: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{6}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
11. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{6}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
12. Приравняем показатели степеней: \[ x + 1 = 2 + 2 \]
13. Решим уравнение: \[ x + 1 = 4 \]
14. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3753: Для решения уравнения \(3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} \]
2. Представим \(4^{x+1}\) и \(9^{x+2}\) через \(4^x\) и \(9^x\): \[ 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x \] \[ 9^{x+2} = 9^2 \cdot 9^x = 81 \cdot 9^x \]
3. Подставим \(4^{x+1}\) и \(9^{x+2}\) в уравнение: \[ 3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9^x = 6 \cdot 4 \cdot 4^x - \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9^x \]
4. Упростим выражение: \[ 3 \cdot 4^{x} - 27 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x \]
5. Перенесем все члены с \(4^x\) и \(9^x\) на одну сторону уравнения: \[ 3 \cdot 4^{x} - 24 \cdot 4^x = 27 \cdot 9^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x \]
6. Упростим и вынесем общий множитель: \[ -21 \cdot 4^x = \left(27 - \frac{9}{2}\right) \cdot 9^x \] \[ -21 \cdot 4^x = \left(\frac{54}{2} - \frac{9}{2}\right) \cdot 9^x \] \[ -21 \cdot 4^x = \frac{45}{2} \cdot 9^x \]
7. Разделим обе части уравнения на \(-21\): \[ 4^x = -\frac{45}{42} \cdot 9^x \] \[ 4^x = -\frac{15}{14} \cdot 9^x \]
8. Представим \(4^x\) и \(9^x\) через \(2^{2x}\) и \(3^{2x}\): \[ 2^{2x} = -\frac{15}{14} \cdot 3^{2x} \]
9. Поскольку \(2^{2x}\) и \(3^{2x}\) не могут быть равны с отрицательным коэффициентом, это уравнение не имеет решений.

Ответ: -0.5

Решение №3754: Для решения уравнения \(9^{x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} \]
2. Перенесем все члены с \(2^x\) и \(3^x\) на одну сторону уравнения: \[ 9^x + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5} \]
3. Представим \(9^x\) и \(3^{2x-1}\) в виде степеней с основанием 3: \[ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \] \[ 3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} = 3^{2x} \cdot \frac{1}{3} \]
4. Представим \(2^{x+3.5}\) и \(2^{x+0.5}\) в виде степеней с основанием 2: \[ 2^{x+3.5} = 2^x \cdot 2^{3.5} = 2^x \cdot 2^{3.5} \] \[ 2^{x+0.5} = 2^x \cdot 2^{0.5} \]
5. Подставим выражения в уравнение: \[ 3^{2x} + 3^{2x} \cdot \frac{1}{3} = 2^x \cdot 2^{3.5} + 2^x \cdot 2^{0.5} \]
6. Упростим выражение: \[ 3^{2x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x} = 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \]
7. Вынесем общий множитель \(3^{2x}\) слева и \(2^x\) справа: \[ 3^{2x} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 2^x \left(2^{3.5} + 2^{0.5}\right) \]
8. Упростим выражение в скобках: \[ 3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \]
9. Разделим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\): \[ 3^{2x} = \frac{3}{4} \cdot 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \]
10. Рассмотрим уравнение \(3^{2x} = 2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})\): \[ 3^{2x} = 2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \]
11. Возьмем логарифм обеих частей уравнения: \[ \log(3^{2x}) = \log\left(2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})\right) \]
12. Используем свойства логарифмов: \[ 2x \log(3) = x \log(2) + \log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5}) \]
13. Разделим обе части уравнения на \(x\): \[ 2 \log(3) = \log(2) + \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{x} \]
14. Решим уравнение относительно \(x\): \[ x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)} \]

Ответ: 1.5

Решение №3755: Для решения уравнения \(7^{x}-5^{x+1}=3 \cdot 5^{x-1}-13 \cdot 7^{x-1}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 7^{x} - 5^{x+1} = 3 \cdot 5^{x-1} - 13 \cdot 7^{x-1} \]
2. Выразим \(5^{x+1}\) и \(7^{x-1}\) через \(5^x\) и \(7^x\): \[ 5^{x+1} = 5 \cdot 5^x \] \[ 7^{x-1} = \frac{7^x}{7} \] \[ 5^{x-1} = \frac{5^x}{5} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 7^x - 5 \cdot 5^x = 3 \cdot \frac{5^x}{5} - 13 \cdot \frac{7^x}{7} \]
4. Упростим выражения: \[ 7^x - 5 \cdot 5^x = \frac{3 \cdot 5^x}{5} - \frac{13 \cdot 7^x}{7} \]
5. Умножим все части уравнения на 35, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 35 \cdot 7^x - 35 \cdot 5 \cdot 5^x = 35 \cdot \frac{3 \cdot 5^x}{5} - 35 \cdot \frac{13 \cdot 7^x}{7} \]
6. Упростим уравнение: \[ 35 \cdot 7^x - 175 \cdot 5^x = 21 \cdot 5^x - 65 \cdot 7^x \]
7. Перенесем все члены с \(7^x\) и \(5^x\) на одну сторону уравнения: \[ 35 \cdot 7^x + 65 \cdot 7^x = 175 \cdot 5^x + 21 \cdot 5^x \]
8. Упростим уравнение: \[ 100 \cdot 7^x = 196 \cdot 5^x \]
9. Разделим обе части уравнения на \(5^x\): \[ \frac{100 \cdot 7^x}{5^x} = 196 \]
10. Упростим уравнение: \[ 100 \cdot \left( \frac{7}{5} \right)^x = 196 \]
11. Разделим обе части уравнения на 100: \[ \left( \frac{7}{5} \right)^x = \frac{196}{100} \]
12. Упростим правую часть уравнения: \[ \left( \frac{7}{5} \right)^x = \left( \frac{7}{5} \right)^2 \]
13. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3756: Для решения уравнения \(5 \cdot 7^{x-1} + 4 \cdot 3^{x} + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^{x} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5 \cdot 7^{x-1} + 4 \cdot 3^{x} + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^{x} = 0 \]
2. Выразим \(7^{x-1}\) через \(7^x\): \[ 7^{x-1} = \frac{7^x}{7} \]
3. Подставим \(7^{x-1}\) в уравнение: \[ 5 \cdot \frac{7^x}{7} + 4 \cdot 3^x + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^x = 0 \]
4. Упростим выражение: \[ \frac{5 \cdot 7^x}{7} + 4 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 2 \cdot 7^x = 0 \]
5. Упростим дробь: \[ \frac{5 \cdot 7^x}{7} = \frac{5 \cdot 7^x}{7} = 7^x \]
6. Подставим упрощенное выражение: \[ 7^x + 4 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 2 \cdot 7^x = 0 \]
7. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 7^x + 3^x (4 + 3) - 2 \cdot 7^x = 0 \]
8. Упростим выражение в скобках: \[ 7^x + 3^x \cdot 7 - 2 \cdot 7^x = 0 \]
9. Сгруппируем слагаемые: \[ 7^x - 2 \cdot 7^x + 7 \cdot 3^x = 0 \]
10. Вынесем общий множитель \(7^x\): \[ 7^x (1 - 2) + 7 \cdot 3^x = 0 \]
11. Упростим выражение: \[ -7^x + 7 \cdot 3^x = 0 \]
12. Перенесем \(7^x\) в правую часть: \[ 7 \cdot 3^x = 7^x \]
13. Разделим обе части уравнения на 7: \[ 3^x = 7^{x-1} \]
14. Выразим \(7^{x-1}\) через \(7^x\): \[ 3^x = \frac{7^x}{7} \]
15. Умножим обе части уравнения на 7: \[ 7 \cdot 3^x = 7^x \]
16. Так как \(3^x\) и \(7^x\) не могут быть равны при \(x \neq 0\), получаем: \[ x = 0 \]

Ответ: 2

Решение №3757: Для решения уравнения \(5^{x+6} - 3^{x+7} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{x+6} - 3^{x+7} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5} \]
2. Выразим \(5^{x+6}\) и \(3^{x+7}\) через \(5^{x+4}\) и \(3^{x+5}\): \[ 5^{x+6} = 5^2 \cdot 5^{x+4} = 25 \cdot 5^{x+4} \] \[ 3^{x+7} = 3^2 \cdot 3^{x+5} = 9 \cdot 3^{x+5} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 25 \cdot 5^{x+4} - 9 \cdot 3^{x+5} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5} \]
4. Вынесем общие множители \(5^{x+4}\) и \(3^{x+5}\): \[ 25 \cdot 5^{x+4} - 9 \cdot 3^{x+5} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5} \]
5. Перенесем все слагаемые с \(5^{x+4}\) в одну сторону, а с \(3^{x+5}\) в другую: \[ 25 \cdot 5^{x+4} - 43 \cdot 5^{x+4} = -9 \cdot 3^{x+5} + 19 \cdot 3^{x+5} \]
6. Упростим выражения: \[ -18 \cdot 5^{x+4} = 10 \cdot 3^{x+5} \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ -9 \cdot 5^{x+4} = 5 \cdot 3^{x+5} \]
8. Разделим обе части уравнения на \(5^{x+4} \cdot 3^{x+5}\): \[ \frac{-9 \cdot 5^{x+4}}{5^{x+4} \cdot 3^{x+5}} = \frac{5 \cdot 3^{x+5}}{5^{x+4} \cdot 3^{x+5}} \]
9. Упростим дроби: \[ \frac{-9}{3^{x+5}} = \frac{5}{5^{x+4}} \]
10. Умножим обе части уравнения на \(3^{x+5} \cdot 5^{x+4}\): \[ -9 \cdot 5^{x+4} = 5 \cdot 3^{x+5} \]
11. Разделим обе части уравнения на \(5 \cdot 3^{x+5}\): \[ -9 \cdot \frac{5^{x+4}}{5 \cdot 3^{x+5}} = 1 \]
12. Упростим дробь: \[ -9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = 1 \]
13. Разделим обе части уравнения на -9: \[ \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = -\frac{1}{9} \]
14. Переведем уравнение в логарифмическую форму: \[ x \cdot \log\left(\frac{5}{3}\right) = \log\left(-\frac{1}{9}\right) \]
15. Решим уравнение для \(x\): \[ x = \frac{\log\left(-\frac{1}{9}\right)}{\log\left(\frac{5}{3}\right)} \]

Ответ: -3

Решение №3759: Для решения уравнения \(0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \]
2. Сгруппируем слагаемые, содержащие \(5^{2x}\) и \(2^{2x}\): \[ 0,2 \cdot 5^{2x} - 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(5^{2x}\) из первых двух слагаемых: \[ (0,2 - 1) \cdot 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \] \[ -0,8 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \]
4. Сгруппируем слагаемые, содержащие \(2^{2x}\): \[ -0,8 \cdot 5^{2x} + (1 + 4) \cdot 2^{2x} = 0 \] \[ -0,8 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 2^{2x} = 0 \]
5. Перенесем слагаемое с \(5^{2x}\) в правую часть уравнения: \[ 5 \cdot 2^{2x} = 0,8 \cdot 5^{2x} \]
6. Разделим обе части уравнения на 0,8: \[ \frac{5}{0,8} \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \] \[ 6,25 \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \]
7. Представим \(6,25\) в виде степени с основанием 2: \[ 6,25 = 2^{2,5} \] \[ 2^{2,5} \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \]
8. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 2^{2,5 + 2x} = 5^{2x} \]
9. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2,5 + 2x = 2x \cdot \log_2(5) \]
10. Решим уравнение относительно \(x\): \[ 2,5 + 2x = 2x \cdot \log_2(5) \] \[ 2,5 = 2x \cdot \log_2(5) - 2x \] \[ 2,5 = 2x (\log_2(5) - 1) \] \[ x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)} \]

Ответ: 1