№3757

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(5^{x+6}-3^{x+7}=43\cdot 5^{x+4}-19\cdot 3^{x+5}\)

Ответ

-3

Решение № 3757:

Для решения уравнения \(5^{x+6} - 3^{x+7} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 5^{x+6} - 3^{x+7} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Выразим \(5^{x+6}\) и \(3^{x+7}\) через \(5^{x+4}\) и \(3^{x+5}\): \[ 5^{x+6} = 5^2 \cdot 5^{x+4} = 25 \cdot 5^{x+4} \] \[ 3^{x+7} = 3^2 \cdot 3^{x+5} = 9 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Подставим выражения в уравнение: \[ 25 \cdot 5^{x+4} - 9 \cdot 3^{x+5} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Вынесем общие множители \(5^{x+4}\) и \(3^{x+5}\): \[ 25 \cdot 5^{x+4} - 9 \cdot 3^{x+5} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Перенесем все слагаемые с \(5^{x+4}\) в одну сторону, а с \(3^{x+5}\) в другую: \[ 25 \cdot 5^{x+4} - 43 \cdot 5^{x+4} = -9 \cdot 3^{x+5} + 19 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Упростим выражения: \[ -18 \cdot 5^{x+4} = 10 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ -9 \cdot 5^{x+4} = 5 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(5^{x+4} \cdot 3^{x+5}\): \[ \frac{-9 \cdot 5^{x+4}}{5^{x+4} \cdot 3^{x+5}} = \frac{5 \cdot 3^{x+5}}{5^{x+4} \cdot 3^{x+5}} \] </li> <li>Упростим дроби: \[ \frac{-9}{3^{x+5}} = \frac{5}{5^{x+4}} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(3^{x+5} \cdot 5^{x+4}\): \[ -9 \cdot 5^{x+4} = 5 \cdot 3^{x+5} \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(5 \cdot 3^{x+5}\): \[ -9 \cdot \frac{5^{x+4}}{5 \cdot 3^{x+5}} = 1 \] </li> <li>Упростим дробь: \[ -9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = 1 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на -9: \[ \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = -\frac{1}{9} \] </li> <li>Переведем уравнение в логарифмическую форму: \[ x \cdot \log\left(\frac{5}{3}\right) = \log\left(-\frac{1}{9}\right) \] </li> <li>Решим уравнение для \(x\): \[ x = \frac{\log\left(-\frac{1}{9}\right)}{\log\left(\frac{5}{3}\right)} \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(5^{x+6} - 3^{x+7} = 43 \cdot 5^{x+4} - 19 \cdot 3^{x+5}\) заключается в том, что \(x = \frac{\log\left(-\frac{1}{9}\right)}{\log\left(\frac{5}{3}\right)}\).