№3756

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(5\cdot 7^{x-1}+4\cdot 3^{x}+3^{x+1}-2\cdot 7^{x}=0\)

Ответ

2

Решение № 3756:

Для решения уравнения \(5 \cdot 7^{x-1} + 4 \cdot 3^{x} + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^{x} = 0\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 5 \cdot 7^{x-1} + 4 \cdot 3^{x} + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^{x} = 0 \] </li> <li>Выразим \(7^{x-1}\) через \(7^x\): \[ 7^{x-1} = \frac{7^x}{7} \] </li> <li>Подставим \(7^{x-1}\) в уравнение: \[ 5 \cdot \frac{7^x}{7} + 4 \cdot 3^x + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^x = 0 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \frac{5 \cdot 7^x}{7} + 4 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 2 \cdot 7^x = 0 \] </li> <li>Упростим дробь: \[ \frac{5 \cdot 7^x}{7} = \frac{5 \cdot 7^x}{7} = 7^x \] </li> <li>Подставим упрощенное выражение: \[ 7^x + 4 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 2 \cdot 7^x = 0 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 7^x + 3^x (4 + 3) - 2 \cdot 7^x = 0 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ 7^x + 3^x \cdot 7 - 2 \cdot 7^x = 0 \] </li> <li>Сгруппируем слагаемые: \[ 7^x - 2 \cdot 7^x + 7 \cdot 3^x = 0 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(7^x\): \[ 7^x (1 - 2) + 7 \cdot 3^x = 0 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ -7^x + 7 \cdot 3^x = 0 \] </li> <li>Перенесем \(7^x\) в правую часть: \[ 7 \cdot 3^x = 7^x \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 7: \[ 3^x = 7^{x-1} \] </li> <li>Выразим \(7^{x-1}\) через \(7^x\): \[ 3^x = \frac{7^x}{7} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 7: \[ 7 \cdot 3^x = 7^x \] </li> <li>Так как \(3^x\) и \(7^x\) не могут быть равны при \(x \neq 0\), получаем: \[ x = 0 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(5 \cdot 7^{x-1} + 4 \cdot 3^{x} + 3^{x+1} - 2 \cdot 7^{x} = 0\) есть \(x = 0\). Ответ: 0