Задача №3759

№3759

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(0,2\cdot 5^{2x}+2^{2x}-5^{2x}+4\cdot 2^{2x}=0\)

Ответ

1

Решение № 3759:

Для решения уравнения \(0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \] </li> <li>Сгруппируем слагаемые, содержащие \(5^{2x}\) и \(2^{2x}\): \[ 0,2 \cdot 5^{2x} - 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(5^{2x}\) из первых двух слагаемых: \[ (0,2 - 1) \cdot 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \] \[ -0,8 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0 \] </li> <li>Сгруппируем слагаемые, содержащие \(2^{2x}\): \[ -0,8 \cdot 5^{2x} + (1 + 4) \cdot 2^{2x} = 0 \] \[ -0,8 \cdot 5^{2x} + 5 \cdot 2^{2x} = 0 \] </li> <li>Перенесем слагаемое с \(5^{2x}\) в правую часть уравнения: \[ 5 \cdot 2^{2x} = 0,8 \cdot 5^{2x} \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 0,8: \[ \frac{5}{0,8} \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \] \[ 6,25 \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \] </li> <li>Представим \(6,25\) в виде степени с основанием 2: \[ 6,25 = 2^{2,5} \] \[ 2^{2,5} \cdot 2^{2x} = 5^{2x} \] </li> <li>Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 2^{2,5 + 2x} = 5^{2x} \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2,5 + 2x = 2x \cdot \log_2(5) \] </li> <li>Решим уравнение относительно \(x\): \[ 2,5 + 2x = 2x \cdot \log_2(5) \] \[ 2,5 = 2x \cdot \log_2(5) - 2x \] \[ 2,5 = 2x (\log_2(5) - 1) \] \[ x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)} \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(0,2 \cdot 5^{2x} + 2^{2x} - 5^{2x} + 4 \cdot 2^{2x} = 0\) есть \(x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)}\). Ответ: \(x = \frac{2,5}{2 (\log_2(5) - 1)}\)

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)