№3746

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(4^{4(x+1)}=\sqrt[5]{16^{x+100}}\)

Ответ

10

Решение № 3746:

Для решения уравнения \(4^{4(x+1)} = \sqrt[5]{16^{x+100}}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 4^{4(x+1)} = \sqrt[5]{16^{x+100}} \] </li> <li>Представим число 16 в виде степени с основанием 4: \[ 16 = 4^2 \] </li> <li>Подставим \(4^2\) вместо 16 в уравнение: \[ \sqrt[5]{16^{x+100}} = \sqrt[5]{(4^2)^{x+100}} \] </li> <li>Применим свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\): \[ \sqrt[5]{(4^2)^{x+100}} = \sqrt[5]{4^{2(x+100)}} \] </li> <li>Вычислим корень пятой степени: \[ \sqrt[5]{4^{2(x+100)}} = 4^{\frac{2(x+100)}{5}} \] </li> <li>Теперь уравнение имеет вид: \[ 4^{4(x+1)} = 4^{\frac{2(x+100)}{5}} \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 4(x+1) = \frac{2(x+100)}{5} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ 4(x+1) = \frac{2(x+100)}{5} \] Умножим обе части уравнения на 5: \[ 20(x+1) = 2(x+100) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 20x + 20 = 2x + 200 \] </li> <li>Перенесем все \(x\) на одну сторону уравнения: \[ 20x - 2x = 200 - 20 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 18x = 180 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 18: \[ x = 10 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(4^{4(x+1)} = \sqrt[5]{16^{x+100}}\) есть \(x = 10\). Ответ: 10