№3733

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}=315\)

Ответ

3

Решение № 3733:

Для решения уравнения \(3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315 \] </li> <li>Выразим \(3^{2x-1}\) через \(3^{2x-2}\): \[ 3^{2x-1} = 3 \cdot 3^{2x-2} \] </li> <li>Выразим \(3^{2x-4}\) через \(3^{2x-2}\): \[ 3^{2x-4} = \frac{3^{2x-2}}{3^2} = \frac{3^{2x-2}}{9} \] </li> <li>Подставим выражения \(3^{2x-1}\) и \(3^{2x-4}\) в уравнение: \[ 3 \cdot 3^{2x-2} + 3^{2x-2} - \frac{3^{2x-2}}{9} = 315 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(3^{2x-2}\): \[ 3^{2x-2} \left(3 + 1 - \frac{1}{9}\right) = 315 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ 3^{2x-2} \left(4 - \frac{1}{9}\right) = 315 \] </li> <li>Преобразуем выражение в скобках в общую дробь: \[ 4 - \frac{1}{9} = \frac{36}{9} - \frac{1}{9} = \frac{35}{9} \] </li> <li>Подставим выражение в уравнение: \[ 3^{2x-2} \cdot \frac{35}{9} = 315 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 9: \[ 3^{2x-2} \cdot 35 = 315 \cdot 9 \] </li> <li>Вычислим произведение: \[ 3^{2x-2} \cdot 35 = 2835 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 35: \[ 3^{2x-2} = \frac{2835}{35} \] </li> <li>Вычислим деление: \[ 3^{2x-2} = 81 \] </li> <li>Представим число 81 в виде степени с основанием 3: \[ 81 = 3^4 \] </li> <li>Подставим \(3^4\) вместо 81 в уравнение: \[ 3^{2x-2} = 3^4 \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2x - 2 = 4 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ 2x - 2 = 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} = 315\) есть \(x = 3\). Ответ: 3