№3754

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(9^{x}-2^{x+0,5}=2^{x+3,5}-3^{2x-1}\)

Ответ

1.5

Решение № 3754:

Для решения уравнения \(9^{x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} \] </li> <li>Перенесем все члены с \(2^x\) и \(3^x\) на одну сторону уравнения: \[ 9^x + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5} \] </li> <li>Представим \(9^x\) и \(3^{2x-1}\) в виде степеней с основанием 3: \[ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \] \[ 3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} = 3^{2x} \cdot \frac{1}{3} \] </li> <li>Представим \(2^{x+3.5}\) и \(2^{x+0.5}\) в виде степеней с основанием 2: \[ 2^{x+3.5} = 2^x \cdot 2^{3.5} = 2^x \cdot 2^{3.5} \] \[ 2^{x+0.5} = 2^x \cdot 2^{0.5} \] </li> <li>Подставим выражения в уравнение: \[ 3^{2x} + 3^{2x} \cdot \frac{1}{3} = 2^x \cdot 2^{3.5} + 2^x \cdot 2^{0.5} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ 3^{2x} + \frac{1}{3} \cdot 3^{2x} = 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(3^{2x}\) слева и \(2^x\) справа: \[ 3^{2x} \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 2^x \left(2^{3.5} + 2^{0.5}\right) \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ 3^{2x} \cdot \frac{4}{3} = 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(\frac{4}{3}\): \[ 3^{2x} = \frac{3}{4} \cdot 2^x \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \] </li> <li>Рассмотрим уравнение \(3^{2x} = 2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})\): \[ 3^{2x} = 2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5}) \] </li> <li>Возьмем логарифм обеих частей уравнения: \[ \log(3^{2x}) = \log\left(2^x \cdot \frac{3}{4} \cdot (2^{3.5} + 2^{0.5})\right) \] </li> <li>Используем свойства логарифмов: \[ 2x \log(3) = x \log(2) + \log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5}) \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(x\): \[ 2 \log(3) = \log(2) + \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{x} \] </li> <li>Решим уравнение относительно \(x\): \[ x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)} \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(9^{x} - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}\) есть: \[ x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)} \] Ответ: \(x = \frac{\log\left(\frac{3}{4}\right) + \log(2^{3.5} + 2^{0.5})}{2 \log(3) - \log(2)}\)