№3706

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(5^{x}\cdot 4^{x}=400\)

Ответ

2

Решение № 3706:

Для решения уравнения \(5^{x} \cdot 4^{x} = 400\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 5^{x} \cdot 4^{x} = 400 \] </li> <li>Выразим \(4^x\) через степень с основанием 2: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] </li> <li>Подставим \(2^{2x}\) в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{2x} = 400 \] </li> <li>Представим 400 в виде произведения степеней с основаниями 5 и 2: \[ 400 = 5^2 \cdot 2^4 \] </li> <li>Подставим \(5^2 \cdot 2^4\) в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{2x} = 5^2 \cdot 2^4 \] </li> <li>Приравняем показатели степеней для каждого основания: \[ 5^x = 5^2 \quad \text{и} \quad 2^{2x} = 2^4 \] </li> <li>Решим уравнение для основания 5: \[ x = 2 \] </li> <li>Решим уравнение для основания 2: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(5^{x} \cdot 4^{x} = 400\) есть \(x = 2\). Ответ: 2