№3748

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x}=\frac{16}{45}\)

Ответ

3

Решение № 3748:

Для решения уравнения \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \frac{16}{45}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \frac{16}{45} \] </li> <li>Представим \(\frac{16}{45}\) в виде произведения степеней: \[ \frac{16}{45} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Подставим \(\left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\) вместо \(\frac{16}{45}\) в уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Представим \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}\) через произведение степеней: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} = \left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} \] </li> <li>Подставим \(\left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\) вместо \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}\) в уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \left(\frac{5}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Объединим степени с одинаковыми основаниями: \[ \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ \left(\frac{4}{6}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Упростим \(\left(\frac{4}{6}\right)^x\): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Представим \(\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\) через степень: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{6}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{6}{5}\right) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \] </li> <li>Приравняем показатели степеней: \[ x + 1 = 2 + 2 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ x + 1 = 4 \] </li> <li>Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \[ x = 3 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\left(\frac{5}{6}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{x} = \frac{16}{45}\) есть \(x = 3\). Ответ: 3