№3740

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(3^{\frac{2-x}{x-5}}=\frac{1}{9}\)

Ответ

8

Решение № 3740:

Для решения уравнения \(3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9} \] </li> <li>Представим число \(\frac{1}{9}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \] </li> <li>Подставим \(3^{-2}\) вместо \(\frac{1}{9}\) в уравнение: \[ 3^{\frac{2-x}{x-5}} = 3^{-2} \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{2-x}{x-5} = -2 \] </li> <li>Решим уравнение \(\frac{2-x}{x-5} = -2\): <ol> <li>Умножим обе части уравнения на \(x-5\): \[ 2 - x = -2(x - 5) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 2 - x = -2x + 10 \] </li> <li>Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону уравнения: \[ 2 - x + 2x = 10 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ x = 8 \] </li> </ol> </li> <li>Проверим решение \(x = 8\) на соответствие области допустимых значений (ОДЗ): \[ x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5 \] Поскольку \(x = 8\) не равен 5, решение удовлетворяет ОДЗ. </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(3^{\frac{2-x}{x-5}} = \frac{1}{9}\) есть \(x = 8\). Ответ: 8