№3718

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(\sqrt[3]{5^{x-1}}\cdot \sqrt{5}=5\)

Ответ

2.5

Решение № 3718:

Для решения уравнения \(\sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5 \] </li> <li>Представим корни в виде степеней: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} = 5^{\frac{x-1}{3}}, \quad \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \] </li> <li>Подставим эти выражения в уравнение: \[ 5^{\frac{x-1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5 \] </li> <li>Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 5^{\frac{x-1}{3} + \frac{1}{2}} = 5 \] </li> <li>Приравняем показатели степеней: \[ \frac{x-1}{3} + \frac{1}{2} = 1 \] </li> <li>Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2(x-1)}{6} + \frac{3}{6} = 1 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \frac{2(x-1) + 3}{6} = 1 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 6: \[ 2(x-1) + 3 = 6 \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим: \[ 2x - 2 + 3 = 6 \] </li> <li>Сложим и вычтем числа: \[ 2x + 1 = 6 \] </li> <li>Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \[ 2x = 5 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ x = \frac{5}{2} \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5\) есть \(x = \frac{5}{2}\). Ответ: \(\frac{5}{2}\)