№3728

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(4^{x+2}+4^{x}+2^{x+1}=84\)

Ответ

1

Решение № 3728:

Для решения уравнения \(4^{x+2} + 4^{x} + 2^{x+1} = 84\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 4^{x+2} + 4^{x} + 2^{x+1} = 84 \] </li> <li>Выразим \(4^{x+2}\) и \(2^{x+1}\) через \(4^x\): \[ 4^{x+2} = 4^2 \cdot 4^x = 16 \cdot 4^x \] \[ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \] </li> <li>Подставим выражения в уравнение: \[ 16 \cdot 4^x + 4^x + 2 \cdot 2^x = 84 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(4^x\) и \(2^x\): \[ 4^x (16 + 1) + 2^x \cdot 2 = 84 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ 4^x \cdot 17 + 2^x \cdot 2 = 84 \] </li> <li>Выразим \(4^x\) через \(2^x\): \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \] Подставим это в уравнение: \[ 2^{2x} \cdot 17 + 2^x \cdot 2 = 84 \] </li> <li>Подставим \(y = 2^x\): \[ y^2 \cdot 17 + y \cdot 2 = 84 \] </li> <li>Получим квадратное уравнение: \[ 17y^2 + 2y - 84 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 17\), \(b = 2\), \(c = -84\): \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-84)}}{2 \cdot 17} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 5616}}{34} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{5620}}{34} \] \[ y = \frac{-2 \pm 75}{34} \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{-2 + 75}{34} = \frac{73}{34} \] \[ y_2 = \frac{-2 - 75}{34} = \frac{-77}{34} \] </li> <li>Подставим \(y = 2^x\) обратно: \[ 2^x = \frac{73}{34} \quad \text{(отбросим, так как это не степень двойки)} \] \[ 2^x = \frac{-77}{34} \quad \text{(отбросим, так как это не степень двойки и отрицательное число)} \] </li> <li>Таким образом, решения нет. </li> </ol> Ответ: решений нет.