№3719

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(\sqrt[9]{4^{2x+1}}\cdot \sqrt[5]{2}=2\)

Ответ

1.3

Решение № 3719:

Для решения уравнения \(\sqrt[9]{4^{2x+1}} \cdot \sqrt[5]{2} = 2\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \sqrt[9]{4^{2x+1}} \cdot \sqrt[5]{2} = 2 \] </li> <li>Представим корни в виде степеней: \[ \sqrt[9]{4^{2x+1}} = (4^{2x+1})^{1/9} = 4^{(2x+1)/9} \] \[ \sqrt[5]{2} = 2^{1/5} \] </li> <li>Подставим эти выражения в уравнение: \[ 4^{(2x+1)/9} \cdot 2^{1/5} = 2 \] </li> <li>Выразим \(4\) через \(2\): \[ 4 = 2^2 \] \[ 4^{(2x+1)/9} = (2^2)^{(2x+1)/9} = 2^{2(2x+1)/9} \] </li> <li>Подставим \(2^{2(2x+1)/9}\) вместо \(4^{(2x+1)/9}\) в уравнение: \[ 2^{2(2x+1)/9} \cdot 2^{1/5} = 2 \] </li> <li>Объединим показатели степеней: \[ 2^{2(2x+1)/9 + 1/5} = 2 \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ \frac{2(2x+1)}{9} + \frac{1}{5} = 1 \] </li> <li>Найдем общее знаменатель для дробей: \[ \frac{2(2x+1)}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10(2x+1) + 9}{45} \] \[ \frac{10(2x+1) + 9}{45} = 1 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 45: \[ 10(2x+1) + 9 = 45 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ 10(2x+1) + 9 = 45 \] \[ 10(2x+1) = 36 \] \[ 2x + 1 = 3.6 \] \[ 2x = 2.6 \] \[ x = 1.3 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\sqrt[9]{4^{2x+1}} \cdot \sqrt[5]{2} = 2\) есть \(x = 1.3\). Ответ: \(x = 1.3\)